Problema di Cauchy specificando l'intervallo di esistenza massimale della soluzione

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Problema di Cauchy specificando l'intervallo di esistenza massimale della soluzione #47055

avt
xavier310
Sfera
Salve giovani emt eccomi con un altro esercizio (in pratica ho una serie di esercizi del corso di analisi 2 dello scorso anno ma non ho le soluzioni e quindi svolgerli sul forum mi è di grande aiuto emt )

Devo risolvere il seguente problema di Cauchy specificando l'intervallo di esistena massimale

y'=(sin x )y+(sinx)y^3

y\left(\frac{\pi}{2}\right)=-1

E' riconducibile a un equazione differenziale a variabili separabili.
Metto in evidenza

y'=(sin x )(y^3+y)

In questo caso le ipotesi per il teorema di unicità ed esistenza locale sono soddisfatte in tutto \mathbb{R} \times \mathbb{R}

c'è un'unica soluzione stazionaria: y=0 che non può essere soluzione del PdC in quanto non soddisfa la condizione. Quindi procediamo per separazione di variabili

\int \frac{1}{y(y^2+1)}\,dy=\int sinx \, dx }

\int \frac{1}{y} \, dy-\int \frac{y}{(y^2+1)}\,dy=\int sinx \, dx }

\ln|y|-\ln(\sqrt{y^2+1})=-cosx + c

\ln\left(\frac{y}{\sqrt{y^2+1}}\right)= -cos x +c

\frac{y}{\sqrt{y^2+1}}= K\,e^{-cos x}

ok sto andando in una direzione che probabilmente posso evitare

Meglio trovare subito la costante c

c=\frac{1}{2}

e da qui posso trovare la soluzione e discutere il campo di esistenza. Cosa ho sbagliato in questa parte di risoluzione?
 
 

Re: Problema di Cauchy specificando l'intervallo di esistenza massimale della soluzione #47163

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao xavier emt

Una volta scritta l'equazione differenziale a variabili separabili così come proponi tu:

y'= \sin(x) (y+ y^3)

e determinate la soluzione costante y(x)=0, devi determinare i possibili intervalli aperti in cui varierà la nostra y. Essi saranno:

y\in(-\infty, 0) oppure y\in (0,+\infty).

Di questi due intervalli dobbiamo prendere quello che possiede y_0=-1 (l'immagine del punto x_0=\frac{\pi}{2})


L'intervallo che dobbiamo prendere in considerazione è quindi (-\infty, 0)

Una volta separate le variabili, procedi come hai fatto tu, fino al passaggio:

\ln|y|-\ln(\sqrt{y^2+1})= -\cos(x)+c

Da qui possiamo già calcolare la costante c imponendo condizione iniziale:

c= -\ln(\sqrt{2})

Sostituiamo la c appena determinata:

\ln|y|-\ln(\sqrt{y^2+1})= -\cos(x)-\ln(\sqrt{2})


Attenzione ora: Poiché abbiamo detto che la variabile y<0 allora |y|=-y quindi l'equazione precedente diventa

\ln(-y)-\ln(\sqrt{y^2+1})= -\cos(x)-\ln(\sqrt{2})

Per la proprietà dei logaritmi:

\ln\left(\frac{-y}{\sqrt{y^2+1}}\right)= -\cos(x)-\ln(\sqrt{2})

Applicando membro a membro l'esponenziale

\frac{-y}{\sqrt{y^2+1}}= e^{-\cos(x)-\ln(\sqrt{2})}= \frac{1}{\sqrt{2}}e^{-\cos(x)}

Affinché questa equazione ammetta soluzioni dobbiamo richiedere che l'immagine della funzione al secondo membro (quella che dipende da x) sia contenuto o al più uguale all'immagine della funzione al primo membro.

Ora l'immagine del primo membro è

\mbox{Im}_{\frac{-y}{\sqrt{y^2+1}}}(-\infty, 0)= (0,1)

A questo punto dobbiamo determinare x tale che:

0<\frac{1}{\sqrt{2}}e^{-\cos(x)}<1

Moltiplichiamo membro a membro per \sqrt{2}

0<e^{-\cos(x)}<\sqrt{2}

La prima disequazione , e^{-\cos(x)} è sempre soddisfatta perché l'esponenziale è una funzione positiva,

La seconda condizione invece:

e^{-\cos(x)}<\sqrt{2}

Applichiamo membro a membro il logaritmo

-\cos(x)<\ln(\sqrt{2})\iff \cos(x)>-\ln(\sqrt{2})

Studiamo questa disequazione ha soluzione

-\arccos\left(-\ln(\sqrt{2})\right)<x<\arccos\left(-\ln(\sqrt{2})\right)

che è l'intervallo massimale ricercato.

Adesso possiamo determinare la soluzione:


Dalla equazione:

\frac{-y}{\sqrt{y^2+1}}= \frac{1}{\sqrt{2}}e^{-\cos(x)}

Eleviamo membro a membro al quadrato così da poter eliminare la radice:

\frac{y^2}{y^2+1}= \frac{e^{-2\cos(x)}}{2}

Aggiungi e sottrai 1 al numeratore:

\frac{y^2+1-1}{y^2+1}= \frac{e^{-2\cos(x)}}{2}

\frac{y^2+1}{y^2+1}-\frac{1}{y^2+1}= \frac{e^{-2\cos(x)}}{2}

Semplificando

1-\frac{1}{y^2+1}= \frac{e^{-2\cos(x)}}{2}


portiamo 1 al secondo membro:

-\frac{1}{y^2+1}= \frac{e^{-2\cos(x)}}{2}-1

Cambi segno membro a membro.

\frac{1}{y^2+1}= 1-\frac{e^{-2\cos(x)}}{2}

Passiamo al reciproco membro a membro:

y^2+1= \frac{1}{1-\frac{e^{-2\cos(x)}}{2}}

Da cui

y^2= \frac{1}{1-\frac{e^{-2\cos(x)}}{2}}-1

estraiamo membro a membro la radice quadrata:

|y|=\sqrt{ \frac{1}{1-\frac{e^{-2\cos(x)}}{2}}-1}

Poiché y<0 allora |y|=-y

-y=\sqrt{ \frac{1}{1-\frac{e^{-2\cos(x)}}{2}}-1}

si ha che:

y(x)=-\sqrt{ \frac{1}{1-\frac{e^{-2\cos(x)}}{2}}-1}=

= -\sqrt{\frac{1}{2 e^{2\cos(x)}-1}}
Ringraziano: Omega, Pi Greco, xavier310, Galois, flupp, CarFaby

Re: Problema di Cauchy specificando l'intervallo di esistenza massimale della soluzione #47193

avt
xavier310
Sfera
Ok ci sono emt l'unica cosa:


Ora l'immagine del primo membro è

\mbox{Im}_{\frac{-y}{\sqrt{y^2+1}}}(-\infty, 0)= (0,1)


perchè non prendi in considerazione l'intervallo (0,1]?

Re: Problema di Cauchy specificando l'intervallo di esistenza massimale della soluzione #47258

avt
Ifrit
Amministratore
Perché la funzione

f(y)= \frac{-y}{\sqrt{y^2+1}}

è decrescente, pertanto:

\sup_{y\in (-\infty, 0)}f(y)= \lim_{x\to -\infty} \frac{-y}{\sqrt{y^2+1}}= 1

mentre

\inf_{y\in (-\infty, 0)}f(y)= \lim_{x\to 0} \frac{-y}{\sqrt{y^2+1}}= 0

Per il teorema dei valori intermedi la funzione f assume tutti i valori tra il suo inf e il suo sup, esclusi quest'ultimi, quindi:

\mbox{Im}_{\frac{-y}{\sqrt{y^2+1}}}(-\infty, 0)= (0,1)
Ringraziano: Omega, Pi Greco, CarFaby

Re: Problema di Cauchy specificando l'intervallo di esistenza massimale della soluzione #47279

avt
xavier310
Sfera
Tutto chiaro =) ti ringrazio =)
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