Intervallo massimale di esistenza della soluzione unica di un problema di cauchy

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Intervallo massimale di esistenza della soluzione unica di un problema di cauchy #46548

avt
ste0507
Punto
Ciao, ho un dubbio sull'intervallo massimale di esistenza di una soluzione di un problema di Cauchy: che cos'è?

O meglio: so operativamente come trovarlo se posso trovare una formula analitica della funzione soluzione, ma c'è una cosa che mi frulla per la testa e non riesco a capire se è così: un'equazione differenziale ha come incognite una funzione e anche l'intervallo di definizione della stessa (cioè il suo dominio)...

Non è mica che l'intervallo massimale di esistenza è proprio questo dominio? Se fosse così allora quando esso è tutto R si dice che la soluzione ha "esistenza globale" ovvero che è una soluzione unica globale?

Grazie ancora per la disponibilità di chiunque vorrà rispondere.
 
 

Re: Intervallo massimale di esistenza della soluzione unica di un problema di cauchy #46596

avt
Galois
Amministratore
Ciao ste0507 emt

Vorrei cercare di chiarirti il dubbio non tanto andando a dire quello che è giusto e/o sbagliato, ma piuttosto studiando insieme le definizioni di soluzioni di un'equazione differenziale. La risposta al tuo dubbio la troviamo infatti lì.

Iniziamo: sia f: A\subseteq R^{k+1} \rightarrow R, con A aperto.


Definizione 1: una funzione y si dice soluzione locale dell'equazione differenziale

y^{(k)} = f(t,y,y',y'', ..., y^{(k-1)}

se:

(a) Il suo dominio è un intervallo reale, ovvero: y:I\subseteq R \rightarrow R

(b) y:I\subseteq R \rightarrow R è derivabile k volte in I

(c) \forall t \in I : \ (t,y(t), y'(t), ..., y^{(k-1)}(t))\in A

(d) \forall t \in I : y^{(k)}(t) = f(t,y(t), y'(t), ..., y^{(k-1)}(t))


Definizione 2: una funzione {tex}z: J\subseteq R \rightarrow R/tex} si dice un prolungamento della soluzione locale y:I\subseteq R \rightarrow R se:

(a) z è a sua volta una soluzione locale

(b) I \subseteq J (se I \subset J z si dice un prolungamento proprio)

(c) \forall t \in I : y(t)=z(t)


Facciamo un semplicissimo grafico che ci aiuta a capire come stanno le cose:

soluzioneMass


Definizione 3: una funzione y:I\subseteq R \rightarrow R si dice soluzione massimale se NON ESISTONO prolungamenti propri di y.

Ad esempio, se I=\left[a,b\right], ovvero:

y:\left[a,b\right]\subseteq R \rightarrow R ha sia in a che in b asintoti verticali, y sarà una soluzione massimale in quanto a causa degli asintoti non si potrà prolungare.


Definizione 4: se A, che ricordiamo essere l'insieme di definizione della funzione f è del tipo:

A = I \times R^{k}, ovvero:

f: \left(I \times   R^{k}\right)\subseteq R^{k+1} \rightarrow R

allora y è una soluzione globale se:

(a) è una soluzione locale

(b) il suo dominio coincide con I


OSSERVAZIONE: Soluzione \ globale \ \Rightarrow \ soluzione \ massimale

e NON VALE IL VICEVERSA

Quindi:

Non è mica che l'intervallo massimale di esistenza è proprio questo dominio?


La risposta la trovi nella definizione emt

Se fosse così allora quando esso è tutto R si dice che la soluzione ha "esistenza globale" ovvero che è una soluzione unica globale?

Non è proprio esatto.
Riprendi la definizione 4 di soluzione globale. Supponiamo che I=\left[0,1\right] \ e \ k=1, allora f: \left(\left[0,1\right] \times   R\right)\subseteq R^{2} \rightarrow R e graficamente l'insieme di definizione di f è il seguente

InsiemeDef

Quindi, in base alla definizione, una funzione y sarà una soluzione globale se il suo dominio coincide con \left[0,1\right], ovvero:

y:\left[0,1\right] \rightarrow R.

Molto spesso, proprio come hai detto tu si pensa che una soluzione è globale quando il suo dominio è tutto R, ma questo perché nel 99% dei casi la funzione f ha come dominio tutto R^{2}, ovvero I=R, dove I è l'intervallo che abbiamo considerato sopra.

Spero di essere stato chiaro emt ad ogni modo puoi approfondire il discorso leggendo la lezione sulla soluzione globale e sul prolungamento massimale delle soluzioni.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, CarFaby

Re: Intervallo massimale di esistenza della soluzione unica di un problema di cauchy #46621

avt
ste0507
Punto
Grazie molte per la risposta.

Per adesso prendo al volo (tra le righe) quelle risposte precise che mi sono utili per proseguire con la teoria.

Appena avrò un po' più di tempo (magari nel post-esame) analizzerò più a fondo il tutto (anche se in linea di massima il succo l'ho già capito).
Ringraziano: Galois

Re: Intervallo massimale di esistenza della soluzione unica di un problema di cauchy #46629

avt
Galois
Amministratore
Di niente...figurati emt

In bocca a lupo per l'esame!
Ringraziano: Omega
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Os