Lunghezza del grafico di una funzione in t

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Lunghezza del grafico di una funzione in t #45935

avt
Fede993
Punto
Buonasera ragazzi! Potete per favore aiutarmi con la lunghezza di una curva data come grafico di una funzione?

Devo calcolare la lunghezza del grafico di f(t)=ln(cos(t)) ove t ∈ [0, π/4].

Svolgendo i calcolo arrivo a un punto in cui devo integrare 1/cosx e non so più come proseguire. Il risultato deve venire: ln[1 − tan^2(π/8)].

Grazie per l'eventuale aiuto.
 
 

Re: Lunghezza del grafico di una funzione in t #45957

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao Fede993 emt

Dobbiamo calcolare la lunghezza del grafico della funzione

f(t)= \ln(\cos(t))\mbox{ con }t\in \left[0, \frac{\pi}{4}\right]

e per farlo utilizziamo la formula:

\int_{a}^{b}\sqrt{1+f'(t)^2}dt=

Nel nostro caso a= 0, b= \frac{\pi}{4} mentre:

f'(t)= -\frac{\sin(t)}{\cos(t)}= -\tan(t)

è la funzione derivata prima di f che si ottiene tramite la regola di derivazione delle funzioni composte

\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\sqrt{1+\tan^2(t)}dt

Manipolando un po' con le formule trigonometriche il radicando otteniamo effettivamente:

\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{\cos(t)}dt

Ci facciamo furbi, moltiplichiamo e dividiamo per cos(t) la funzione integranda così da ottenere:

\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{\cos(t)}{\cos^2(t)}dt

Per la relazione fondamentale della trigonometria:

\cos^2(t)= 1-\sin^2(t)

sostituiamo così da ottenere:

\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{\cos(t)}{1-\sin^2(t)}dt

Poniamo t=\sin(x)\implies dt = \cos(x)dx

L'integrale indefinito diventa quindi:

\int \frac{dt}{1-t^2}= \int \frac{dt}{(1-t)(1+t)}

Procedendo per fratti semplici otterrai che:

\int \frac{dt}{(1-t)(1+t)}dt= -\frac{1}{2}\ln|1-t|+\frac{1}{2}\ln|1+t|

ma t= \sin(x) quindi, tornando in x:

\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{\cos(t)}{1-\sin^2(t)}dt=

\left[-\frac{1}{2}\ln|1-\sin(x)|+\frac{1}{2}\ln|1+\sin(x)|\right]_{0}^{\frac{\pi}{4}}


Sostituendo i valori otteniamo:

-\frac{1}{2}\ln\left|1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right|+\frac{1}{2}\ln\left|1+\frac{\sqrt{2}}{2}\right|

Ti dirò, il risultato che proponi non può essere corretto perché è un numero negativo, e la lunghezza di una curva non può essere negativa :\
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Galois
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Os