Domande sulle soluzioni (monotonia e massimalità) di un problema di Cauchy

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Domande sulle soluzioni (monotonia e massimalità) di un problema di Cauchy #45597

avt
ohcarissimo
Punto
Ciao a tutti! Sono nuovo del forum, e ho alcune difficoltà con lo studio delle soluzioni di un problema di Cauchy. Spesso mi capita di leggere le vostre discussioni e dato che oggi ho bisogno di aiuto ho pensato di iscrivermi.

Devo risolvere questo esercizio: data l'equazione differenziale: y'\left(x\right)= \frac{e^{-y}}{y}x^{2}

i) dire dove vale il Teorema di Cauchy
ii) studiare le zone di crescita de crescita delle soluzioni
iii) trovare la soluzione generale (in forma implicita)
iv) determinare l'intervallo massimale di esistenza della soluzione di dato iniziale y\left(\left(3e^{2}\right){1/3}\right)=2.

La mia parziale soluzione è stata questa:

i) a\left(x\right)=x^{2} è continua su tutto R;
b\left(y\right)=e^{-y} è definita e continua per y<0 e y>0 e stessa cosa per la sua derivata prima.

Si può quindi dire che il Teorema di Cauchy vale per y<0 e y>0. Ho sbagliato qualcosa?

ii) Non so rispondere. Cosa devo fare in questo secondo punto?

iii) La soluzione generale in forma implicita è:

e^{y}\left(y-1\right)=\frac{x^{3}}{3}+C

iv) La soluzione che soddisfa questo dato iniziale è:

e^{y}\left(y-1\right)=\frac{x^{3}}{3}+C, con C=0.

Il primo membro si annulla per y=1 e il secondo per x=0. Come trovo l'intervallo massimale di esistenza?

Scusate se ho scritto molto, ma vorrei riuscire a comprendere bene tutto l'esercizio.

Grazie in anticipo!
 
 

Re: Domande sulle soluzioni (monotonia e massimalità) di un problema di Cauchy #45629

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao ohcarissimo! emt

Il procedimento della i) è corretto.

Per ii), cioè per la monotonia delle soluzioni non devi far altro che studiare il segno della derivata prima, nota che

Se y>0 allora per ogni x\in \mathbb{R} si ha che:

y'(x)\ge 0 quindi le soluzioni sono crescenti quando "vivono" nel primo e secondo quadrante.

Se y<0 allora per ogni x\in \mathbb{R} la derivata prima è negativa quindi le soluzioni che vivono nel terzo e nel quarto quadrante decrescono.

La soluzione che proponi al punto iii) è corretta. Imponiamo la condizione iniziale per determinare la costante c:

e^{2}=e^{2}+c\iff c=0

di conseguenza l'equazione che definisce la funzione soluzione è

e^{y}(y-1)= \frac{x^3}{3}

Poiché y_0=2\in (0,+\infty) allora dobbiamo pensare che:

y\in (0,+\infty) pertanto l'immagine della funzione al primo membro è:

\mbox{Im}_{e^{y}(y-1)}(0,+\infty)= (-1,+\infty)

Affinché l'equazione e^{y}(y-1)= \frac{x^3}{3} sia "coerente" (ed ammetta quindi soluzioni) dobbiamo pretendere che l'immagine di \frac{x^3}{3} sia contenuta nell'immagine della funzione al primo membro, dobbiamo quindi pretendere che:

\frac{x^3}{3}\in (-1,\infty)\iff \frac{x^3}{3}>-1\iff x>-\sqrt[3]{3}

L'intervallo massimale è quindi:

(-\sqrt[3]{3}, +\infty)

Ecco il grafico della funzione soluzione soddisfacente la condizione iniziale


equazione_differenziale_ifrit
Ringraziano: Omega, Pi Greco, CarFaby

Re: Domande sulle soluzioni (monotonia e massimalità) di un problema di Cauchy #45662

avt
ohcarissimo
Punto
emt Grazie mille sei stato chiarissimo!
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Os