Integrale doppio esteso ad una porzione di piano compresa tra parabola e retta

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Integrale doppio esteso ad una porzione di piano compresa tra parabola e retta #45111

avt
Sharpie
Cerchio
Salve, avrei un problema con un integrale doppio per l'area di piano compresa tra una parabola e una retta

iint_D(2x+3)/((2x-y+3)^2)dxdy

Il dominio D è esteso ad una porzione di piano compresa tra la parabola di equazione y = 1-x^2 e la retta passante per i punti (0,-1) e (1/2,0). La porzione di piano in particolare è lo "spicchio" di piano compresa tra i due grafici delle funzioni suddette e l'asse y, che giace nel primo e quarto quadrante.

parabola_retta_ifrit



In particolare ho difficoltà a trovare gli estremi di integrazione per poter utilizzare le formule di riduzione...avevo pensato di vedere l'insieme come normale all'asse y, è giusto?

Grazie mille in anticipo per l'eventuale risposta!
 
 

Re: Integrale doppio esteso ad una porzione di piano compresa tra parabola e retta #45142

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao Sharpie,

per prima cosa devi calcolare l'equazione della retta passante per i punti A e B, ottenendo:

y = 2x-1

Il dominio di integrazione è dato da:

D = (x,y)∈R^2 : x ≥ 0, 2x-1 ≤ y ≤ 1-x^2

Ora ci rimane da determinare l'intervallo in cui varia x, e per determinarlo risolviamo il sistema di disequazioni

begincasesx ≥ 0 ; 2x-1 ≤ 1-x^2 endcasse

Risolvendo il sistema si trova 0 ≤ x ≤ -1+√(3), quindi possiamo vedere il dominio come:

D = (x,y)∈ R^2 : 0 ≤ x ≤ -1+√(3), 2x-1 ≤ y ≤ 1-x^2

Ovviamente potremmo pensare di scrivere il dominio normale rispetto ad x. Utilizzando le formule di riduzione si ha che l'integrale di partenza si scrive come:

iint_(D) (2x+3)/((2x-y+3)^2)dx = ∫_(0)^(√(3)-1)∫_(2x-1)^(1-x^2)(2x+3)/((2x-y+3)^2)dy dx

Calcoliamo l'integrale interno:

∫ (2x+3)/((2x-y+3)^2)dy = (2x+3)∫ (1)/((2x-y+3)^2)dy

e per farlo integriamo per sostituzione

t = 2x-y+3 ⇒ dt = -dy

L'integrale si scrive quindi come:

(2x+3)∫(-dt)/(t^2) = -(2x+3)∫ (dt)/(t^2) =

-(2x+3)(-(1)/(t))+c = (2x+3)·(1)/(t)+c

ricordando che t = 2x-y+3 si ha che:

∫ (2x+3)/((2x-y+3)^2)dy = (2x+3)/(2x-y+3)+c

dunque:

∫_(2x-1)^(1-x^2)(2x+3)/((2x-y+3)^2)dy = [(2x+3)/(2x-y+3)]_(2x-1)^(1-x^2) =

= (1)/(4)(-3-2x)+(3+2x)/(2+2x+x^2)

Abbiamo determinato l'integrale interno:

∫_(0)^(-1+√(3))((1)/(4)(-3-2x)+(3+2x)/(2+2x+x^2))dx

Da qui riesci a concludere? emt
Ringraziano: Omega, Sharpie

Re: Integrale doppio esteso ad una porzione di piano compresa tra parabola e retta #45155

avt
Sharpie
Cerchio
Ora è tutto chiaro emt Grazie infinite!
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Os