Integrale doppio esteso ad una porzione di piano compresa tra parabola e retta

Salve, avrei un problema con un integrale doppio per l'area di piano compresa tra una parabola e una retta



Il dominio è esteso ad una porzione di piano compresa tra la parabola di equazione e la retta passante per i punti e . La porzione di piano in particolare è lo "spicchio" di piano compresa tra i due grafici delle funzioni suddette e l'asse , che giace nel primo e quarto quadrante.




In particolare ho difficoltà a trovare gli estremi di integrazione per poter utilizzare le formule di riduzione...avevo pensato di vedere l'insieme come normale all'asse y, è giusto?

Grazie mille in anticipo per l'eventuale risposta!

Ciao Sharpie,

per prima cosa devi calcolare l'equazione della retta passante per i punti A e B, ottenendo:



Il dominio di integrazione è dato da:



Ora ci rimane da determinare l'intervallo in cui varia , e per determinarlo risolviamo il sistema di disequazioni



Risolvendo il sistema si trova , quindi possiamo vedere il dominio come:



Ovviamente potremmo pensare di scrivere il dominio normale rispetto ad . Utilizzando le formule di riduzione si ha che l'integrale di partenza si scrive come:



Calcoliamo l'integrale interno:



e per farlo integriamo per sostituzione



L'integrale si scrive quindi come:





ricordando che si ha che:



dunque:





Abbiamo determinato l'integrale interno:



Da qui riesci a concludere?

Ora è tutto chiaro Grazie infinite!