Integrale doppio con cambiamento di variabili, problema con Jacobiano

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Integrale doppio con cambiamento di variabili, problema con Jacobiano #45082

avt
Rosy*
Punto
Salve ho il seguente integrale doppio e un dubbio riguardo al calcolo dello Jacobiano dopo aver effettuato un cambiamento di variabili:

∫ ∫_(T) xy sin (xy) dx dy


dove il dominio di integrazione T è:

T: = (x,y) ∈ R^2 : x ≤ y ≤ 2x , (2)/(x) π ≤ y ≤ (3)/(x) π

Utilizzando il cambiamento di variabili T si trasforma in un rettangolo
giungo (penso sia giusto quindi non sto a scrivere tutto il procedimento ) a

1 ≤ (y)/(x) ≤ 2 ; 2π ≤ xy ≤ 3π

Uso le trasformazioni e ottengo il sistema

beginBmatrix u = xy ; v = y/x endmatrix

da cui dopo una serie di passaggi

beginBmatrix x = √(frac uv) ; y = sqrt uv endmatrix

Da cui lo Jacobiano

J = det[ (1)/(2v sqrt (u)/(v)) -(u)/(2v^2 √((u)/(v))) ; frac v2 sqrt uv frac u2 sqrt uv ] = (1)/(2uv)

Vi chiedo se il risultato del determinante è ok perché il testo ha la stessa matrice di Jacobi ma il determinante lì risulta 1/(2v).
 
 

Re: Integrale doppio con cambiamento di variabili, problema con Jacobiano #45103

avt
Omega
Amministratore
Ciao Rosy* emt

Intanto premetto (per chi fosse interessato) che il la definizione di Jacobiano e il metodo per calcolare la matrice Jacobiana relativa ad un dato cambiamento di coordinate sono descritti nella d&r del link.

Ho ripetuto i conti che hai fatto e non mi risulta che ci siano errori. Riducendo la matrice Jacobiana all'osso si ottiene

[ (1)/(2√(uv)) -(√(u))/(2√(v^3)) ; (√(v))/(2√(u)) (√(u))/(2√(v)) ]

Sono però d'accordo con il risultato fornito dall'esercizio:

J = (1)/(2√(uv))(√(u))/(2√(v))+(√(u))/(2√(v^3))(√(v))/(2√(u)) =

= (1)/(4v)+(1)/(4v) = (1)/(2v)

Ricordati che poi nell'integrale dovrai considerarne il modulo, cioè |J|. Ma tanto per come è definito il dominio si lavora con coordinate positive, sicché...emt
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, marymangio, Rosy*, CarFaby, TeQuila.

Re: Integrale doppio con cambiamento di variabili, problema con Jacobiano #45589

avt
Rosy*
Punto
L'errore lo commettevo sul prodotto fra le radici , mi mancano le basi sigh !emt
Ringraziano: Omega

Re: Integrale doppio con cambiamento di variabili, problema con Jacobiano #45609

avt
Omega
Amministratore
Capita, nessun problema. emt
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Os