Massimi e minimi di una funzione polinomiale in tre variabili

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Massimi e minimi di una funzione polinomiale in tre variabili #44197

avt
ssimo92
Cerchio
Ciao a tutti, ho provato a svolgere questa funzione polinomiale di tre variabili ma non sono proprio sicura dei miei calcoli e volevo il vostro parere.

La funzione è :

f(x,y,z)= x^3-y^3+xy+z^2

La traccia mi chiede di determinare dominio, punti stazionari e la natura dei punti.
A me viene P(0,0,0) un punto di sella e Q(1/3,-1/3,0) un punto di minimo.
Spero sia giusto. Grazie mille!
Ringraziano: Caciotek
 
 

Re: Massimi e minimi di una funzione polinomiale in tre variabili #44215

avt
Ifrit
Amministratore
Sì è corretto! emt
Il dominio è R^3 perché la funzione è polinomiale. Posso chiederti che metodo hai utilizzato? (Non scrivermi i passaggi emt)
Ringraziano: ssimo92

Re: Massimi e minimi di una funzione polinomiale in tre variabili #44226

avt
ssimo92
Cerchio
In che senso che metodo ho utilizzato? emt
ho calcolato gradiente poi ho posto le derivate prime uguali a zero e ho trovato i punti. Poi ho costruito matrice hessiana e l'ho calcolata nei punti. Per trovare massimi o minimi o sella ho usato i minori principali di guida che non so cosa siano e neanche come utilizzarli bene (te lo volevo chiedere appunto:kiss: ). Un altra domanda ti volevo fare : se per caso quando metto le derivate nel sistema e le pongo uguali a zero mi viene una condizione che non si può verificare , deduco che ke non ci sono punti stazionari e mi blocco là? e se invece mi viene una condizione sempre verificata ?
Grazie in anticipo..scusa x il monologo emt

Re: Massimi e minimi di una funzione polinomiale in tre variabili #44237

avt
Ifrit
Amministratore
Te l'ho chiesto perché personalmente utilizzo gli autovalori per capire che tipo di punti critici ho di fronte, e visto che i professori adottano un metodo piuttosto che un altro, non volevo riportare il mio procedimento che ti avrebbe confuso solamente...

I minori principali di guida di ordine k sono sottomatrici quadrate della matrice Hessiana (di ordine n>= k) che si ottengono considerando le intersezioni tra le prime k righe e le prime k colonne.


Vediamo ora come fare:

La matrice Hessiana associata alla funzione f è:

H_(f)(x,y,z) = [ 6x 1 0 ; 1 -6 y 0 ; 0 0 2 ]

Calcoliamo prima i minori:

Δ_1 = 6x

Δ_2 = det[6x 1 ; 1 -6y] = -36 x y-1

Δ_3 = det[6x 1 0 ; 1 -6y 0 ; 0 0 2] = -2-72 x y


A questo punto calcoliamo i minori per x= 0, y=0, z=0

Δ_1 = 0

Δ_2 = -1

Δ_3 = -2

da cui si evince che la matrice è indefinita e dunque il punto (0,0,0) è di sella

Per x= 1/3, y=-1/3, z=0

allora

Δ_1 = 6·(1)/(3) = 2

Δ_2 = -36·(-(1)/(3)) = +12

Δ_3 = -2-72(-(1)/(3)·(1)/(3)) = 7

I tre minori sono positivi quindi la matrice Hessiana è definita positiva per x = (1)/(3), y = -(1)/(3), z = 0 ed il punto è di minimo

E' la prima volta che incontro questo metodo, ho dovuto utilizzare delle dispense trovate in internet, è interessante emt
Ringraziano: Omega, CarFaby, MaggieMcgee

Re: Massimi e minimi di una funzione polinomiale in tre variabili #44242

avt
ssimo92
Cerchio
eheh...adesso mi è più chiaro grazieeee.
MI puoi rispondere anche alla domanda che ho fatto please emt
La ricopio: se per caso quando metto le derivate nel sistema e le pongo uguali a zero mi viene una condizione che non si può verificare , deduco che ke non ci sono punti stazionari e mi blocco là? e se invece mi viene una condizione sempre verificata ?

Re: Massimi e minimi di una funzione polinomiale in tre variabili #44252

avt
Ifrit
Amministratore
Ah scusami, è che sono rimasto colpito del metodo e così mi sono dimenticato.

Una volta impostato il sistema derivato dal gradiente nullo, se esso non è soddisfatto vuol dire che non ci sono punti stazionari interni al dominio (teorema di Fermat per funzioni di più variabili). Se la funzione è definita in un aperto allora hai finito, non ci sono punti di massimo, di minimo o di sella.

Nel caso in cui però la funzione è definita in un insieme chiuso e limitato di R^3 allora devi andare a controllare come essa si comporta sulla frontiera del dominio perché su di essa magari la funzione assume massimo e minimo (assoluto).
Ringraziano: Omega, Pi Greco, ssimo92, CarFaby, MaggieMcgee
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Os