Integrale di linea di una funzione polinomiale su una curva

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Integrale di linea di una funzione polinomiale su una curva #44123

avt
Sparviero
Punto
Buonasera! Ho un integrale di linea con una funzione polinomiale da calcolare su una curva assegnata.

Devo risolvere l'integrale di linea

∫_γ fds

con f(x,y) = (x^2+y^2) estesa alla curva γ = (e^tcos(t),e^tsin(t)) con t compreso tra 0 e 1/3.

Non riesco a risolverlo, potete aiutarmi?
Grazie anticipatamente per l'attenzione.
 
 

Integrale di linea di una funzione polinomiale su una curva #44143

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao Sparviero,

dobbiamo risolvere un integrale di linea di prima specie. In pratica devi utilizzare la seguente definizione.

Siano

f:Ω ⊆ R^2 → R una funzione (scalare)

γ: [a, b] → Ω una curva.

Si definisce integrale di linea di prima specie di f esteso alla curva γ:

∫_(γ) f ds = ∫_(a)^(b) f(γ(t))||γ'(t)||dt

Nel nostro caso la funzione è

f(x,y) = x^2+y^2

mentre la curva è definita da

γ(t) = (e^(t)cos(t), e^(t)sin(t)) t∈ [0, (1)/(3)]

Calcoliamo la derivata del vettore γ

γ'(t) = (e^(t)(cos(t)-sin(t)), e^(t)cos(t)+e^(t) sin(t))

Calcoliamo la norma del vettore:

 ||γ'(t)|| = √((e^(2t) [(cos(t)-sin(t))^2+(cos(t)+sin(t)^2)]) = √(e^(2t)[cos^2(t)+sin^2(t)-2sin(x)cos(t)+cos^2(t)+sin^2(t)+2sin(t)cos(t)]) = √(e^(2t)(2sin^2(t)+2cos^2(t))) = √(2)e^(t)

Ho utilizzato la relazione fondamentale della goniometria.

Infine valutiamo la funzione

f(γ(t)) = e^(2t)cos^2(t)+e^(2t)sin^2(t) = e^(2t)

L'integrale di linea diventa quindi:

 ∫_(γ)f ds = ∫_0^((1)/(3))e^(2t) (= f(γ(t)))·√(2)e^(t) (||γ'(t)||)dt = ; ∫_(0)^((1)/(3))√(2)e^(3t)dt = (1)/(3)√(2)(e-1)

L'integrale è facile da fare, ti invito a sviluppare i conti così che tu possa allenarti.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Sparviero
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Os