Calcolo della lunghezza del bordo di una superficie

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Calcolo della lunghezza del bordo di una superficie #43336

avt
$w@n
Punto
Salve,sapete aiutarmi a risolvere questo quesito che riguarda il calcolo della lunghezza del bordo di una superficie. E' una giorno intero che cerco sul libro qualcosa che non trovo riguardo l'argomento.

I quesiti sono:

1) Calcolare la lunghezza del bordo della superficie cilindrica compresa tra i piani z=-1 , z=1, avente per direttrice la curva di equazione

y=\log(\sin(x))\ ,\ x\in[ \pi/4,\pi/2]

e generatrici parallele all'asse z.

2) Data la superficie di equazione:

z=\sqrt{y^2 - x^2}\ ,\ (x,y)\in B=\left\{(x,y) \in A: y\geq 0\right\} .

Calcolare la lunghezza del bordo di S.

Soprattutto sapete spiegarmi in modo semplice cos'è un bordo di una superficie? Da quello che ho capito è la rappresentazione parametrica della frontiera del dominio su cui è definita la superficie parametrizzata, esempio una superficie S viene parametrizzata dai parametri (t,\tau) \in   B. B sarebbe il dominio di S(t,\tau).

La frontiera di questo dominio è il bordo. Ragionandoci un po avevo pensato che essendo la frontiera di un dominio allora vuol dire che è una curva, ma se è una curva la lunghezza del bordo si calcola con l'integrale della norma della curva? Non so se è giusto questo che ho detto ma non ho trovato nessuna informazione a riguardo...

Potete aiutarmi voi e correggermi nel caso abbia detto un mucchio di sciocchezze? Grazie.
 
 

Calcolo della lunghezza del bordo di una superficie #43604

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao Sw@n emt

Iniziamo con il primo esercizio. Il grafico della superficie cilindrica è


superficie_cilindrica_ifrit


Il cui bordo è indicato in rosso. Iniziamo a parametrizzare la superfici, in modo canonico:

r(t, u)= \begin{cases}x=t\\ y= \ln(\sin(t))\\ z= u\end{cases}\quad\mbox{dove }t\in \left[\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}\right], u\in [-1,1]


Concentriamoci ora sul bordo, che può essere decomposto in quattro curve, di cui calcoleremo la lunghezza:

bordo_superficie_ifrit



Il trucco è parametrizzare ciascuna curva che delimita la superficie e calcolare la lunghezza, iniziamo con la parte in blu:

\color{blue}\phi_1(t)=\begin{cases}x= t\\ y=\ln(\sin(t))\\ z=1 \end{cases}\color{black}

A questo punto calcoliamo la derivata prima:

\color{blue}\phi_1'(t)=\begin{cases}x= 1\\ y=\frac{\cos(t)}{\sin(t)}\\ z=0 \end{cases}\qquad t\in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)\color{black}


Calcoliamo ora la norma:

\color{blue}||\phi_1'(t)||= \sqrt{1+\frac{\cos^2(t)}{\sin^2(t)}}= |\mbox{cosec}(t)|\color{black}

Nell'intervallo considerato \left(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}\right) la funzione cosecante è positiva quindi il valore assoluto è superfluo, in definitiva:

\color{blue}||\phi_1'(t)||=\mbox{cosec}(t)\color{blue}


La lunghezza della curva è data da:

\color{blue}L_{1}= \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\mbox{cosec}(t)dt=

\color{blue}\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{\sin(t)}dt=

\color{blue}=-\ln\left(\tan\left(\frac{\pi}{8}\right)\right)

Adesso procediamo con la curva rossa:

\color{red}\phi_2(t)=\begin{cases}x= t\\ y=\ln(\sin(t))\\ z=-1 \end{cases}\color{black}

A questo punto calcoliamo la derivata prima:

\color{red}\phi_2'(t)=\begin{cases}x= 1\\ y=\frac{\cos(t)}{\sin(t)}\\ z=0 \end{cases}\qquad t\in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)\color{black}


Calcoliamo ora la norma:

\color{red}||\phi_2'(t)||= \sqrt{1+\frac{\cos^2(t)}{\sin^2(t)}}= |\mbox{cosec}(t)|\color{black}

Nell'intervallo considerato \left(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}\right) la funzione cosecante è positiva quindi il valore assoluto è superfluo, in definitiva:

\color{red}||\phi_2'(t)||=\mbox{cosec}(t)


La lunghezza della curva è data da:

\color{red}L_{2}= \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\mbox{cosec}(t)dt=-\ln\left(\tan\left(\frac{\pi}{8}\right)\right)

(Non ti meravigliare che sia lo stesso risultato della precedente)

Ora ci concentriamo sulla curva verde, che può essere parametrizzata come segue:

\color{green}\phi_3(u)=\begin{cases}x= \frac{\pi}{4}\\ y= \ln\left(\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)=-\frac{\ln(2)}{2}\\z= u  \end{cases}\mbox{ con }u\in [-1,1]\color{black}

La derivata prima rispetto ad u è:

\color{green}\phi_3'(u)=\begin{cases}x= 0\\ y= 0\\z= 1  \end{cases}\mbox{ con }u\in (-1,1)\color{black}

Calcoliamone la norma:



\color{green}||\phi_3'(u)||= \sqrt{1}=1

e la lunghezza è:

\color{green}L_3=\int_{-1}^{1}||\phi_3'(u)||du= \int_{-1}^{1}dt=2

Infine lavoriamo con la curva di colore nero che può essere parametrizzata come:

\phi_{4}(t)=\begin{cases}x= \frac{\pi}{2}\\ y= \ln\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=0\\z=u&\mbox{ con }u\in [-1,1]\end{cases}

come al solito calcoliamo la derivata prima rispetto ad u di tutte le componenti:

\phi_{4}'(t)=\begin{cases}x=0\\ y=0\\z=1\end{cases}


la cui norma è:

||\phi_{4}'(t)||= \sqrt{1}

e la lunghezza di questa curva è data da:

L_4= \int_{-1}^{1}||\phi_{4}'(t)||dt= \int_{-1}^{1}dt= 2

La misura del contorno è data dalla somma delle lunghezze determinate precedentemente:

L= L_1+L_2+L_3+L_4= 4-2\ln\tan\left(\frac{\pi}{8}\right)
Ringraziano: Omega, $w@n, CarFaby, Lorenzzz
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Os