Problema di Cauchy con una equazione differenziale del primo ordine

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Problema di Cauchy con una equazione differenziale del primo ordine #43283

avt
alessi0_r
Cerchio
Qualcuno mi può dare una mano con questo problema di Cauchy con un'equazione differenziale del primo ordine?

y'= (y)/(1+x)+3
y(0) = 0

A occhio credo sia un equazione lineare a variabili separabili, giusto?
Ringraziano: V4L94, Sergente
 
 

Problema di Cauchy con una equazione differenziale del primo ordine #43333

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao alessio_r emt

In realtà l'equazione differenziale che interviene nel problema di Cauchy non è a variabili separabili, ma è una equazione lineare del primo ordine non omogenea.

Abbiamo quindi il problema di Cauchy:

y'= (y)/(1+x)+3 ; y(0) = 0

Per risolverlo, abbiamo a disposizione una formula che ci viene in soccorso. Però prima osserviamo che l'equazione differenziale è ben posta se 1+x ne 0 ⇒ x ne-1 quindi l'equazione differenziale andrebbe risolta o nell'insieme (-∞,-1) oppure (-1,+∞). Dalla condizione iniziale scopriamo che x_0 = 0∈ (-1,+∞), sarà questo l'intervallo da prendere in considerazione.

La formula da utilizzare è:

y(x) = e^(∫_(x_0)^(x) p(t)dt)(y_0+∫_(x_0)^(x)f(t) e^(-∫_(x_0)^(t) p(s)ds)dt)

Nel nostro caso:

x_0 = 0

y_0 = 0

f(t) = 3

p(t) = (1)/(1+t)

Ora:

∫_(0)^(x)(1)/(1+t)dt = ln|1+x| = ln(1+x)

mentre:

∫_(0)^(x)3 e^(-∫_(0)^(t)(1)/(1+s)ds (-ln(1+t)))dt =

∫_(0)^(x)3 e^(-ln(1+t))dt = ∫_(0)^(x)(3)/(t+1) = 3ln(1+x)

Sostituendo i risultati ottenuti nella formulona avrai che:


y(x) = e^(ln(1+x))(3ln(1+x)) = 3(1+x)ln(1+x) x > -1

Spero sia chiaro
Ringraziano: Omega, Pi Greco, CarFaby, meis, V4L94
  • Pagina:
  • 1
Os