Calcolo della lunghezza di una curva con esponenziali

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Calcolo della lunghezza di una curva con esponenziali #41573

avt
Aldoman
Cerchio
Ciao, sto calcolando la lunghezza di questa curva parametrica con coordinate esponenziali: \gamma=(e^t,e^{2t},e^t) con 0\leq t\leq 1.

Arrivo ad ottenere:

\frac{1}{2}\int_{0}^{1}{x dx}+\frac{1}{2}\int_{0}^{1}{\left(\cosh(2x)\right)dx}

poi non riesco ad andare avanti,perché non so cosa fare con il \sinh(2x) che esce, qualcuno gentilmente può aiutarmi?

Grazie!
 
 

Re: Calcolo della lunghezza di una curva con esponenziali #41577

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao aldoman emt

Non ho capito come sei arrivato a quell'integrale :(

Io farei in questo modo:

Data la curva \gamma(t)= (e^{t},e^{2t},e^t)\quad t\in [0,1]

Ne calcolo la derivata prima rispetto a t:

\gamma'(t)=(e^t, 2e^{2t}, e^{t})\quad t\in (0,1)

la norma è:

||\gamma'(t)||=\sqrt{e^{2t}+4 e^{4t}+e^{2t}}=

=\sqrt{2e^{2t}+4e^{4t}}= \sqrt{2e^{2t}(1+2e^{2t})}=


=\sqrt{2}e^{t}\sqrt{1+2e^{2t}}

Quindi l'integrale da calcolare è:

\int_{0}^{1} \sqrt{2}e^t\sqrt{1+2e^{2t}}dt

Procediamo per sostituzione, ponendo:

x= \sqrt{2}e^t\implies dx= \sqrt{2}e^{t}dt

Gli estremi di integrazione diventano x_1= \sqrt{2} e x_2= \sqrt{2}e

Inoltre, osservando che x^2= 2e^{2t} allora l'integrale si scrive come:

\int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{2}e}\sqrt{1+x^2}dx=

(è un integrale tabulato)

=\left[\frac{1}{2}\left(x\sqrt{1+x^2}+\ln(x+\sqrt{1+x^2})\right)\right]_{\sqrt{2}}^{\sqrt{2}e}

Non esce un numero bellissimo... :(
Ringraziano: Omega, Pi Greco, paperino, Aldoman, Phi-ϕ-57
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Os