Estremi vincolati con i moltiplicatori di Lagrange

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Estremi vincolati con i moltiplicatori di Lagrange #41106

avt
palomo_fantozzi
Cerchio
Buonasera, approfitto della vostra chiarezza per esporvi alcuni dubbi sugli esercizi sugli estremi vincolati con l'utilizzo dei moltiplicatori di Lagrange e rinnovo i complimenti per il Forum!

Ho capito bene l'impostazione degli esercizi, però:

- dubbio 1: il primo dubbio, purtroppo, riguarda la risoluzione (in generale) di sistemi di 3 equazioni a 3 incognite (oppure di 4 equazioni a 4 incognite, in quanto la funzione proposta nell'esercizio può essere comprensiva anche di coordinata z)...Potete darmi una direttiva schematica per la risoluzione di suddetti sistemi?

- Dubbio 2: assodato che abbia capito una volta e per tutte la questione esposta sopra, dopo la risoluzione del suddetto sistema, come si procede per la classificazione dei punti critici trovati? Si utilizza come supporto, sempre la Matrice Hessiana?

- Dubbio 3: potete aiutarmi, dunque nella risoluzione del seguente esercizio?


Determinare gli estremi assoluti della funzione f(x, y, z) = z+y sul vincolo

x^2+y^2+z^2-2(x+y) = 0


PS: in generale, come si distinguono (e dunque, come si calcolano) i massimi e minimi RELATIVI dai massimi e minimi ASSOLUTI?

Vi ringrazio anticipatamente per le risposte che mi arriveranno e mi scuso per la banalità di alcune domande...
 
 

Estremi vincolati con i moltiplicatori di Lagrange #41115

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao palomo_fantozzi emt

Per il dubbio 1, mi dispiace, non esiste un metodo che vale per tutti, esistono varie tecniche che si applicano in base a come si presenta la funzione :( Un direttiva schematica non te la so dare, l'unico consiglio che ti posso dare è procedere per sostituzione e sperare che ti faccia giungere al risultato. Non esiste un metodo perché in generale i sistemi che scaturiscono dallo studio del gradiente non sono lineari.

Dubbio 2: In genere no, si confrontano le immagini dei punti determinati, il massimo relato è il più grande, il minimo relativo è il più piccolo.

Vediamo come procedere con la risoluzione dell'esercizio.

La funzione è:

f(x,y,z) = y+z che è continua nel dominio che è un chiuso e limitato (è una sfera!) pertanto essa ammette massimo e minimo assoluti (Weierstrass)

La funzione che definisce il vincolo è:

g(x,y,z) = x^2+y^2+z^2-2(x+y)

La funzione lagrangiana è:

L(x,y,z,λ) = f(x,y,z)-λ g(x,y,z) =

= y+z-λ(x^2+y^2+z^2-2(x+y))

Calcoliamo il gradiente associato così da costruire il seguente sistema:

(2-2x)λ = 0 ; 1+(2-2y)λ = 0 ; 1-2zλ = 0 ;-x^2-y^2-z^2+2(x+y) = 0

Dalla prima equazione abbiamo che λ = 0 oppure 2-2x = 0

Se λ = 0 la prima equazione è soddisfatta, ma non la seconda, quindi non è accettabile. Dobbiamo richiedere che:

2-2x = 0 ⇔ x = 1

Dalla seconda equazione abbiamo:

1+(2-2y)λ = 0 ⇔ y = (1+2λ)/(2λ)

Dalla terza equazione:

z = (1)/(2λ)

A questo punto sostituiamo i valori ottenuti nell'ultima equazione

1+(1)/(4λ^2)+((1+2λ)^2)/(4λ^2)-2(1+(1+2λ)/(2λ)) = 0 ⇔

⇔ -(4λ^2-1)/(2λ) = 0 ⇔

λ_1 = -(1)/(2) λ_2 = (1)/(2)

Il punto associato a λ_1 = -(1)/(2)

è A = (1,0,-1,-1/2) mentre il punto associato a λ_2 = (1)/(2)

B = (1,2,1,1/2)

A questo punto valutiamo nei punti la funzione f:

f(1,0,-1) = -1

mentre:

f(1,2,1) = 3

Da qui comprendi che il punto (1,0,-1) è di minimo (necessariamente ) assoluto, mentre (1,2,1) è di massimo (necessariamente) assoluto.

Ti consiglio una lettura che troverai certamente utile: massimi e minimi vincolati.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, palomo_fantozzi, semplicemente io

Re: Estremi vincolati con i moltiplicatori di Lagrange #41178

avt
palomo_fantozzi
Cerchio
Ti ringrazio per la spiegazione chiara ed ordinata emt

Volevo farti alcune domande a riguardo:

- il metodo di fare riferimento alle immagini dei punti determinati, si adotta solo in questa tipologia d' esercizi? (Ossia con la presenza di un vincolo).

- Non ho capito ancora benissimo la distinzione tra massimi/minimi RELATIVI ed ASSOLUTI...Mi hai detto che i punti trovati sono NECESSARIAMENTE di massimo e di minimo ASSOLUTO...Come mai?

- Come capisco che il vincolo (come in questo caso) è equivalente ad una sfera? Qual è la sua equazione generica?

Grazie anticipatamente!

Re: Estremi vincolati con i moltiplicatori di Lagrange #41187

avt
Ifrit
Amministratore
Sì, solo in questa tipologia, in particolare quando hai a che fare con vincoli che definiscono un insieme chiuso e limitato. In realtà dovresti costruire la cosiddetta matrice hessiana orlata, per assicurarti che effettivamente sono massimi o minimi. Il teorema dei moltiplicatori di Lagrange infatti è solo condizione necessaria per determinare i punti di massimo e di minimo.

La differenza tra massimo/minimo relativi e assoluti è sostanziale. Il problema di fondo è che con i vincoli la trattazione di questo argomento non è immediata, dovresti effettuare dei ragionamenti geometrico/analitici che dipendono sia da come si presenta la funzione (ragionamento analitico), sia come si presenta il vincolo (ragionamento geometrico).

Per farti un esempio sull'esercizio che hai proposto:

Abbiamo determinato due punti stazionari con il metodo di Lagrange. La funzione f è continua in un insieme chiuso e limitato e conseguentemente la funzione ammette massimo e minimo assoluti. Poiché abbiamo determinato solo due punti stazionari, necessariamente essi sono i massimi e minimi assoluti! emt

L'equazione della sfera di raggio r e centro (x_0,y_0,z_0):

(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2 = r^2

o equivalentemente:

x^2+y^2+z^2+α x+β y+γ z+γ = 0

dove α, β, γ∈R

Magari può esserti d'aiuto leggere la lezione sulle equazioni delle quadriche. emt
Ringraziano: Omega, palomo_fantozzi

Re: Estremi vincolati con i moltiplicatori di Lagrange #41226

avt
palomo_fantozzi
Cerchio
Ti ringrazio vivamente, non lo dico per circostanza, ma lo penso davvero: Siete straordinari *-* emt

Per quanto riguarda la ricerca di massimi e minimi vincolati, il programma recita: "ricerca di massimi e minimi vincolari con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange"

Resta però il dubbio sul concetto di massimo e minimo relativo/assoluto...Magari potresti chiarirmi la cosa, aiutandomi con un esercizio (sulla 'classificazione dei punti critici') che postai precedentemente? emt

Ad esempio questo: classificazione dei punti critici di una funzione a due variabili.

Grazie ancora per la gentilezza!

Re: Estremi vincolati con i moltiplicatori di Lagrange #41316

avt
Omega
Amministratore
Ciao Palomo emt

Non perderti in un bicchier d'acqua: la distinzione tra estremanti relativi e assoluti è molto semplice, perché si basa direttamente sulla definizione, che è semplice a sua volta.

In modo del tutto analogo rispetto al caso di una variabile (come distinguere tra massimi e minimi relativi e assoluti), sappiamo che un massimo/minimo è assoluto se è il massimo/minimo valore assunto dalla funzione su tutto il dominio della stessa.

Per far sì che un massimo/minimo sia relativo, invece, è sufficiente che sia il massimo/minimo valore in almeno un intorno del punto estremante: la relatività dell'estremante è cioè una proprietà locale. C'è almeno un intorno del punto in cui il massimo/minimo valore assunto nel punto è il più grande/più piccolo valore assunto dalla funzione nell'intorno.

Tutti i punti estremanti di una funzione a due variabili, ad eccezione dei punti di sella, sono sempre estremanti relativi.

Poi, tra gli estremanti relativi, potrebbero esservi dei valori assoluti: in parole povere, dopo aver determinato tutti i massimi e i minimi relativi della funzione con il procedimento canonico di calcolo, vai a controllare se tra questi valori ve n'è uno che sia il più grande tra tutti i valori assunti dalla funzione sul suo dominio (massimo assoluto) e uno che sia il più piccolo tra tutti i valori assunti dalla funzione sul suo dominio (minimo assoluto).

Per capirlo, devi fare due cose:

1) controllare il comportamento della funzione agli estremi del dominio, e vedere se essa diverge. Se essa diverge negativamente, non possono esservi minimi assoluti. Se diverge positivamente, non possono esservi massimi assoluti. Se non diverge, passi a 2).

2) determinare tutti i valori di massimo e minimo relativi valutando la funzione nei punti di massimo e minimo precedentemente determinati. Il punto che corrisponde al più grande massimo relativo è il punto di massimo assoluto, e il valore assunto dalla funzione in tale punto è il massimo assoluto. Per i minimi, ti comporti in modo del tutto analogo. emt

PS: massimo/minimo ≠ punto di massimo/minimo.
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, palomo_fantozzi

Re: Estremi vincolati con i moltiplicatori di Lagrange #41317

avt
Ifrit
Amministratore
Si che ti so rispondere emt

Per prima cosa, cerchiamo di specificare una cosa importante. Sebbene le richieste degli esercizi siano simili, la risoluzione è completamente diversa. Nella discussione in cui ti ha risposto Omega, abbiamo a che fare con punti stazionari liberi la cui determinazione è abbastanza standard. Trovi lo schema qui: massimi e minimi in due variabili.

- Determini la soluzione del sistema "Gradiente =0", le soluzioni si candidano come punti estremanti per f

- Studi il determinante Hessiano associato alla funzione f in ciascun punto determinato in precedenza, seguendo la tabellina:

det H_(f(x_0)) > 0 ⇒ x_0 punto di minimo locale se , , f_(xx)(x_0) > 0 ; x_0 punto di massimo locale se f_(x x)(x_0) < 0

det H_(f(x_0)) < 0 ⇒ x_0 punto di sella

det H_(f(x_0)) = 0 ⇒ non possiamo dire nulla sulla natura di x_0

Nel caso in cui ricadi nell'ultimo caso, puoi utilizzare altre tecniche più o meno avanzate.

Non si può dire a priori se un punto è di minimo/massimo assoluto. E' necessario procedere in base alla funzione che si ha di fronte.

Una possibile tecnica per dimostrare che un punto di massimo relativo è anche punto di massimo assoluto, consiste nello studiare il segno della funzione variazione:

Δ f(x) = f(x)-f(x_0)

dove x_0 è un punto estremante per la funzione f

Se Δ f(x) ≥ 0 ∀ x∈ dom(f) allora x_0 è punto minimo assoluto

Se invece Δ f(x) ≤ 0 ∀ x∈ dom(f) allora x_0 è punto massimo assoluto.

______________________

Per i punti stazionari vincolati invece la situazione si complica perché dipende da come ha impostato il problema il tuo insegnante!
Ringraziano: Omega, Pi Greco, palomo_fantozzi

Re: Estremi vincolati con i moltiplicatori di Lagrange #42323

avt
palomo_fantozzi
Cerchio
Buonasera a tutti...
Scusate se ritorno su questo post... emt
Avrei una domanda veloce da fare inerente a questo argomento:
Qual è la definizione precisa di insieme compatto?
Ci sono metodi grafico/analitici per determinarlo con esattezza?
Grazie a tutti! emt

Re: Estremi vincolati con i moltiplicatori di Lagrange #42340

avt
Omega
Amministratore
C'è una definizione ben precisa di insieme compatto in uno spazio metrico, e la puoi trovare nella pagina del link.

Nel caso di insiemi in R^n, c'è una caratterizzazione del tutto equivalente: un insieme A ⊆ R^n è compatto se e solo se è chiuso e limitato (teorema di Heine-Borel).
Ringraziano: Pi Greco, palomo_fantozzi
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