Estremi vincolati con i moltiplicatori di Lagrange

Buonasera, approfitto della vostra chiarezza per esporvi alcuni dubbi sugli esercizi sugli estremi vincolati con l'utilizzo dei moltiplicatori di Lagrange e rinnovo i complimenti per il Forum!

Ho capito bene l'impostazione degli esercizi, però:

- dubbio 1: il primo dubbio, purtroppo, riguarda la risoluzione (in generale) di sistemi di 3 equazioni a 3 incognite (oppure di 4 equazioni a 4 incognite, in quanto la funzione proposta nell'esercizio può essere comprensiva anche di coordinata z)...Potete darmi una direttiva schematica per la risoluzione di suddetti sistemi?

- Dubbio 2: assodato che abbia capito una volta e per tutte la questione esposta sopra, dopo la risoluzione del suddetto sistema, come si procede per la classificazione dei punti critici trovati? Si utilizza come supporto, sempre la Matrice Hessiana?

- Dubbio 3: potete aiutarmi, dunque nella risoluzione del seguente esercizio?


Determinare gli estremi assoluti della funzione sul vincolo




PS: in generale, come si distinguono (e dunque, come si calcolano) i massimi e minimi RELATIVI dai massimi e minimi ASSOLUTI?

Vi ringrazio anticipatamente per le risposte che mi arriveranno e mi scuso per la banalità di alcune domande...

Ciao palomo_fantozzi

Per il dubbio 1, mi dispiace, non esiste un metodo che vale per tutti, esistono varie tecniche che si applicano in base a come si presenta la funzione :( Un direttiva schematica non te la so dare, l'unico consiglio che ti posso dare è procedere per sostituzione e sperare che ti faccia giungere al risultato. Non esiste un metodo perché in generale i sistemi che scaturiscono dallo studio del gradiente non sono lineari.

Dubbio 2: In genere no, si confrontano le immagini dei punti determinati, il massimo relato è il più grande, il minimo relativo è il più piccolo.

Vediamo come procedere con la risoluzione dell'esercizio.

La funzione è:

che è continua nel dominio che è un chiuso e limitato (è una sfera!) pertanto essa ammette massimo e minimo assoluti (Weierstrass)

La funzione che definisce il vincolo è:



La funzione lagrangiana è:





Calcoliamo il gradiente associato così da costruire il seguente sistema:



Dalla prima equazione abbiamo che oppure

Se la prima equazione è soddisfatta, ma non la seconda, quindi non è accettabile. Dobbiamo richiedere che:



Dalla seconda equazione abbiamo:



Dalla terza equazione:



A questo punto sostituiamo i valori ottenuti nell'ultima equazione







Il punto associato a

è mentre il punto associato a



A questo punto valutiamo nei punti la funzione f:



mentre:



Da qui comprendi che il punto è di minimo (necessariamente ) assoluto, mentre è di massimo (necessariamente) assoluto.

Ti consiglio una lettura che troverai certamente utile: massimi e minimi vincolati.

Ti ringrazio per la spiegazione chiara ed ordinata

Volevo farti alcune domande a riguardo:

- il metodo di fare riferimento alle immagini dei punti determinati, si adotta solo in questa tipologia d' esercizi? (Ossia con la presenza di un vincolo).

- Non ho capito ancora benissimo la distinzione tra massimi/minimi RELATIVI ed ASSOLUTI...Mi hai detto che i punti trovati sono NECESSARIAMENTE di massimo e di minimo ASSOLUTO...Come mai?

- Come capisco che il vincolo (come in questo caso) è equivalente ad una sfera? Qual è la sua equazione generica?

Grazie anticipatamente!

Sì, solo in questa tipologia, in particolare quando hai a che fare con vincoli che definiscono un insieme chiuso e limitato. In realtà dovresti costruire la cosiddetta matrice hessiana orlata, per assicurarti che effettivamente sono massimi o minimi. Il teorema dei moltiplicatori di Lagrange infatti è solo condizione necessaria per determinare i punti di massimo e di minimo.

La differenza tra massimo/minimo relativi e assoluti è sostanziale. Il problema di fondo è che con i vincoli la trattazione di questo argomento non è immediata, dovresti effettuare dei ragionamenti geometrico/analitici che dipendono sia da come si presenta la funzione (ragionamento analitico), sia come si presenta il vincolo (ragionamento geometrico).

Per farti un esempio sull'esercizio che hai proposto:

Abbiamo determinato due punti stazionari con il metodo di Lagrange. La funzione f è continua in un insieme chiuso e limitato e conseguentemente la funzione ammette massimo e minimo assoluti. Poiché abbiamo determinato solo due punti stazionari, necessariamente essi sono i massimi e minimi assoluti!

L'equazione della sfera di raggio r e centro :



o equivalentemente:



dove

Magari può esserti d'aiuto leggere la lezione sulle equazioni delle quadriche.

Ti ringrazio vivamente, non lo dico per circostanza, ma lo penso davvero: Siete straordinari *-*

Per quanto riguarda la ricerca di massimi e minimi vincolati, il programma recita: "ricerca di massimi e minimi vincolari con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange"

Resta però il dubbio sul concetto di massimo e minimo relativo/assoluto...Magari potresti chiarirmi la cosa, aiutandomi con un esercizio (sulla 'classificazione dei punti critici') che postai precedentemente?

Ad esempio questo: classificazione dei punti critici di una funzione a due variabili.

Grazie ancora per la gentilezza!

Ciao Palomo

Non perderti in un bicchier d'acqua: la distinzione tra estremanti relativi e assoluti è molto semplice, perché si basa direttamente sulla definizione, che è semplice a sua volta.

In modo del tutto analogo rispetto al caso di una variabile (come distinguere tra massimi e minimi relativi e assoluti), sappiamo che un massimo/minimo è assoluto se è il massimo/minimo valore assunto dalla funzione su tutto il dominio della stessa.

Per far sì che un massimo/minimo sia relativo, invece, è sufficiente che sia il massimo/minimo valore in almeno un intorno del punto estremante: la relatività dell'estremante è cioè una proprietà locale. C'è almeno un intorno del punto in cui il massimo/minimo valore assunto nel punto è il più grande/più piccolo valore assunto dalla funzione nell'intorno.

Tutti i punti estremanti di una funzione a due variabili, ad eccezione dei punti di sella, sono sempre estremanti relativi.

Poi, tra gli estremanti relativi, potrebbero esservi dei valori assoluti: in parole povere, dopo aver determinato tutti i massimi e i minimi relativi della funzione con il procedimento canonico di calcolo, vai a controllare se tra questi valori ve n'è uno che sia il più grande tra tutti i valori assunti dalla funzione sul suo dominio (massimo assoluto) e uno che sia il più piccolo tra tutti i valori assunti dalla funzione sul suo dominio (minimo assoluto).

Per capirlo, devi fare due cose:

1) controllare il comportamento della funzione agli estremi del dominio, e vedere se essa diverge. Se essa diverge negativamente, non possono esservi minimi assoluti. Se diverge positivamente, non possono esservi massimi assoluti. Se non diverge, passi a 2).

2) determinare tutti i valori di massimo e minimo relativi valutando la funzione nei punti di massimo e minimo precedentemente determinati. Il punto che corrisponde al più grande massimo relativo è il punto di massimo assoluto, e il valore assunto dalla funzione in tale punto è il massimo assoluto. Per i minimi, ti comporti in modo del tutto analogo.

PS:

Si che ti so rispondere

Per prima cosa, cerchiamo di specificare una cosa importante. Sebbene le richieste degli esercizi siano simili, la risoluzione è completamente diversa. Nella discussione in cui ti ha risposto Omega, abbiamo a che fare con punti stazionari liberi la cui determinazione è abbastanza standard. Trovi lo schema qui: massimi e minimi in due variabili.

- Determini la soluzione del sistema "Gradiente =0", le soluzioni si candidano come punti estremanti per f

- Studi il determinante Hessiano associato alla funzione f in ciascun punto determinato in precedenza, seguendo la tabellina:







Nel caso in cui ricadi nell'ultimo caso, puoi utilizzare altre tecniche più o meno avanzate.

Non si può dire a priori se un punto è di minimo/massimo assoluto. E' necessario procedere in base alla funzione che si ha di fronte.

Una possibile tecnica per dimostrare che un punto di massimo relativo è anche punto di massimo assoluto, consiste nello studiare il segno della funzione variazione:



dove è un punto estremante per la funzione f

Se allora è punto minimo assoluto

Se invece allora è punto massimo assoluto.

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Per i punti stazionari vincolati invece la situazione si complica perché dipende da come ha impostato il problema il tuo insegnante!

Buonasera a tutti...
Scusate se ritorno su questo post...
Avrei una domanda veloce da fare inerente a questo argomento:
Qual è la definizione precisa di insieme compatto?
Ci sono metodi grafico/analitici per determinarlo con esattezza?
Grazie a tutti!

C'è una definizione ben precisa di insieme compatto in uno spazio metrico, e la puoi trovare nella pagina del link.

Nel caso di insiemi in , c'è una caratterizzazione del tutto equivalente: un insieme è compatto se e solo se è chiuso e limitato (teorema di Heine-Borel).