Moltiplicatori di Lagrange, esercizi e domande

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Moltiplicatori di Lagrange, esercizi e domande #406

avt
Paolo
Punto
Buondì a tutti. ho postato tempo addietro una domanda sui moltiplicatori di Lagrange, e suppongo di avere capito (finalmente) a che diamine servono e che vantaggi portano.

Lato negativo: ora mi ritrovo a sapere almeno un minimo di teoria, ma la pratica...hem...

E' vero che un qualcuno che sa solo di pratica è come un marinaio che esce in mare a pescare di notte ma, non sapendo leggere le stelle, si perde però, all'estremo opposto, chi sa solo di teoria dal porto non ci esce neppure .

Hoc dicto: sarebbe possibile avere un qualche problema_esempio in ordine crescente di difficoltà per capire praticamente come si affronta questo brutto e cattivo nonché insidioso nemico?

Anche non 10.000, ci si accontenta di 2 o 3, mi basta che siano spiegati meglio di come hanno fatto (o avrebbero dovuto fare) durante i nostri corsi! emt

Grazie dell'attenzione, e occhio perché sono un testone emt
Ringraziano: Caciotek
 
 

Moltiplicatori di Lagrange, esercizi e domande #407

avt
frank094
Sfera
Proprio leggendo la domanda da te fatta sui Moltiplicatori di Lagrange ho iniziato ad informarmi, quindi ti ringrazio! A tal proposito ti invito a leggere la lezione sui massimi e minimi vincolati in due variabili. emt

Ti faccio un esempio molto semplice in 3 variabili perché Filosofia non si studierà da sola e l'interrogazione mi tocca farla emt.
Consideriamo la seguente funzione a tre variabili

f(x, y, z) = 3x^(2)+2y^(2)+z^(2)+z


vincolata alla sfera

S = g(x, y, z) = x^(2)+y^(2)+z^(2)-1


Determinare massimo e minimo vincolati.

Fin qui nulla da ridire; l'insieme S è compatto e per il teorema di Weierstrass la funzione f(x, y, z) vi ammette massimo e minimo.
Adesso consideriamo la funzione che vien fuori da Lagrange:

γ(x, y, z, λ) = f(x, y, z)-λ g(x, y, z)


Se andiamo a calcolare i punti stazionari ( da discutere ) della funzione γ, cioè i punti tali che sia nabla γ = 0 viene fuori il seguente sistema:

6x = 2λ x ; 4y = 2λ y ; 2z+1 = 2λ z ; x^(2)+y^(2)+z^(2) = 1


Se notiamo la prima equazione deve necessariamente essere o x = 0 o λ = 3.
La seconda equazione ci dice invece che deve essere o y = 0 o λ = 2.

Analizziamo i vari casi:

1) x = y = 0

La z può assumere solo due valori ( sostituendo nella sfera ): - 1 e 1 .. abbiamo perciò individuati i primi due punti P_1(0, 0, 1) e P_2(0, 0,-1).

2) x = 0 e λ = 2

In questo caso si ha immediatamente z = 1/2 e sostituendo nella sfera si trova y = ±(√(3))/(2) .. i punti individuati sono:

P_1(0, (√(3))/(2), 1/2) e P_2(0,-(√(3))/(2), 1/2).

3) y = 0 e λ = 3

In questo caso si ha immediatamente z = 1/4 e sostituendo nella sfera si trova x = ±(√(15))/(4) .. i punti individuati sono:

P_1((√(15))/(4), 0, (1)/(4)) e P_2(-(√(15))/(4), 0, (1)/(4)).

Sostituendo ora nella funzione iniziale i 6 punti trovati e confrontando i risultati determini qual è il minimo e qual è il massimo.

Siccome è tra le prime volte che lavoro con Lagrange è possibile che abbia scritto qualche inesattezza .. se qualcuno vuol dare una controllata a quanto ho detto sotto spoiler è meglio, ciao!
Ringraziano: KikaLedZeppelin, CarFaby, Caciotek

Moltiplicatori di Lagrange, esercizi e domande #408

avt
Paolo
Punto
.... quindi, se ho ben capito, ottieni 4 equazioni sfruttando le 3 derivate parziali e l'equazione di vincolo.
fatto questo risolvi direttamente due delle equazioni e lasci le altre due per poter lavorare sia con la terza incognita che con lamda.

se ho capito come funziona, il minimo dovrebbe essere per

f(0,0,-1) = 0

ed il massimo per

f( (sqrt(15))/4 , 0 , 1/4) = 50/16 = 25/8

.... intanto vediamo se i risultati tornano ed ho capito fino a qui emt

poi vorrei anche capire come funzionerebbe in un caso con f=f(x,y,z,k), per esempio.
dopo devo risolvere 3 equazioni e tenermene sempre due da risolvere di conseguenza o ne considero 2 e risolvo le restanti 3?
(domanda che mi è spuntata ora, quindi aggiungo di volta in volta emt )
o ancora: se ho più g?

grazie del post, lo hai fatto sembrare facile emt

appena mi sarò fatto qualche altro esercizio-esempio vedrò di buttarmi su quella brutta cosa letterale che mi ha fatto sorgere la domanda....

per il momento, grazie! emt
Ringraziano: CarFaby

Moltiplicatori di Lagrange, esercizi e domande #409

avt
frank094
Sfera
I risultati sono esatti.

Se hai una funzione a quattro variabili, sostanzialmente non cambia nulla: ti vengono ( in generale ) 4 equazioni che mettono in relazione la funzione f(x, y, z, t) e il vincolo g(x, y, z, t) e discutendo come nel caso precedente ti trovi le soluzioni.
E' solo un po' più complicato risolvere il sistema e fare alcune considerazioni ma non credo possa dare molti problemi una volta compreso come funziona con 2 e 3 variabili.

Se hai più vincoli è molto semplice .. chiamiamoli g(x, y, z) e h(x, y, z) .. la funzione di Lagrange sarà:

γ(x, y, z, λ, xi) = f(x, y, z)-λ g(x, y, z)- xi h(x, y, z)


Il sistema è più complesso ma alla fin fine non cambia tantissimo.

Se più tardi ne ho il tempo, o al limite domani, ti faccio qualche esempio su questi due dubbi!
Ringraziano: CarFaby

Moltiplicatori di Lagrange, esercizi e domande #410

avt
Paolo
Punto
mmmm.... detto così pare anche avere senso....

ti ringrazio di nuovo.... ma io sono come san tommaso, se non vedo non credo emt

quindi ora vai a studiare filosofia emt , nel mentre attenderò altri esempi!
emt

Moltiplicatori di Lagrange, esercizi e domande #413

avt
frank094
Sfera
Ti lascio qualche esercizio da fare ..

- Massimi e Minimi Vincolati ( 2 Variabili )

1) f(x, y) = x+2y

Nell'insieme M = (x, y) ∈ R^(2): x^(2)+y^(2) = 9

2) f(x, y) = 2/3 x^(2)+y^(3)

Nell'insieme M = (x, y) ∈ R^(2): x^(2)+y^(2) = 1

3) f(x, y) = 2x^(2)+y^(2)-y

Nell'insieme M = (x, y) ∈ R^(2): x^(2)+y^(2) ≤ 1

4) f(x, y) = e^(x+y)

Nell'insieme M = (x, y) ∈ R^(2): x^(2)+y^(2) ≤ 1

5) f(x, y) = x+y+e^(xy)

Nell'insieme M = (x, y) ∈ R^(2): x^(2)+y^(2) = 1

- Massimi e Minimi Vincolati ( 3 Variabili )

1) f(x, y, z) = x^(2)+y^(2)+z^(2)-16

Nell'insieme M = (x, y, z) ∈ R^(3): x^(2)+y^(2)+z^(2) = 1

2) f(x, y, z) = z^(2)e^(x+y)

Nell'insieme M = (x, y, z) ∈ R^(3): x^(2)+y^(2)+z^(2) ≤ 1

- Massimi e Minimi Vincolati ( Vincoli > 1 )

1) f(x, y) = x^2+2y-z^2

Nell'insieme M = (x, y, z) ∈ R^(3): 2x-y = 0, y+z = 0

Alcuni li ho trovati in giro, alcuni su qualche libro ( chiaramente ho fatto qualche modifica ) .. mentre l'ultimo me lo son proprio inventato quindi non so darti informazioni al riguardo.
Se qualcuno nota imprecisioni negli esercizi che ho proposto sistemi pure!
Beh buon divertimento!
Ringraziano: CarFaby

Moltiplicatori di Lagrange, esercizi e domande #414

avt
Omega
Amministratore
...Il Frank non perdona...Grandioso! emt

Domani, in un attimo di quiete, posto anch'io un esempiuccio dacchè mi avete ingolosito: niente di che, pensavo a qualcosa di beginner in due variabili.

Nel frattempo: stand by Paolo e buona filosofia, Frank (Kant?) !

Moltiplicatori di Lagrange, esercizi e domande #415

avt
frank094
Sfera
Omega ha scritto:
...Il Frank non perdona...Grandioso! emt

Domani, in un attimo di quiete, posto anch'io un esempiuccio dacchè mi avete ingolosito: niente di che, pensavo a qualcosa di beginner in due variabili.

Nel frattempo: stand by Paolo e buona filosofia, Frank (Kant?) !


Massimi e Minimi vincolati risolvibili con Lagrange mi stanno davvero appassionando emt mi cimenterò anch'io con gli esercizi che proporrai.
"Kant?" .. siamo arrivati appena a Sant'Agostino.

Moltiplicatori di Lagrange, esercizi e domande #416

avt
Omega
Amministratore
Sant'Agostino e il tempo? A mio parere profondo quanto complicato...Ma non voglio essere il diavolo tentatore che conduce off-topic emt

[Nel frattempo sposto la discussione sotto "Analisi Matematica 2"]

Re: Moltiplicatori di Lagrange, esercizi e domande #56069

avt
KikaLedZeppelin
Cerchio
Ciao a tutti, vorrei chiedervi una cosa un pò stupida ^^
Da pochi giorni mi sto cimentando in questo tipo di esercizio, ma non riesco a capire una cosa.
Nel momento in cui vado a fare il gradiente della f e della superficie (in questo caso della sfera) avrò un sistema di equazioni.
I dubbi nascono nel momento in cui vado ad analizzare i casi. Per capire meglio riprendo l'esercizio che ha fatto fran094 si ha:
frank094 ha scritto:


Analizziamo i vari casi:

1) x = y = 0

La z può assumere solo due valori ( sostituendo nella sfera ): - 1 e 1 .. abbiamo perciò individuati i primi due punti P_1(0, 0, 1) e P_2(0, 0,-1).

2) x = 0 e λ = 2

In questo caso si ha immediatamente z = 1/2 e sostituendo nella sfera si trova y = ±(√(3))/(2) .. i punti individuati sono:

P_1(0, (√(3))/(2), 1/2) e P_2(0,-(√(3))/(2), 1/2).

3) y = 0 e λ = 3



Ok, ora vorrei sapere:
quando vado ad analizzare i vari casi, come faccio a scegliere le equazioni da studiare? Mi spiego meglio, dove vado a sostituire i valori trovati? E perchè?
Spero di essere stata chiara emt
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