Moltiplicatori di Lagrange, esercizi e domande

Buondì a tutti. ho postato tempo addietro una domanda sui moltiplicatori di Lagrange, e suppongo di avere capito (finalmente) a che diamine servono e che vantaggi portano.

Lato negativo: ora mi ritrovo a sapere almeno un minimo di teoria, ma la pratica...hem...

E' vero che un qualcuno che sa solo di pratica è come un marinaio che esce in mare a pescare di notte ma, non sapendo leggere le stelle, si perde però, all'estremo opposto, chi sa solo di teoria dal porto non ci esce neppure .

Hoc dicto: sarebbe possibile avere un qualche problema_esempio in ordine crescente di difficoltà per capire praticamente come si affronta questo brutto e cattivo nonché insidioso nemico?

Anche non 10.000, ci si accontenta di 2 o 3, mi basta che siano spiegati meglio di come hanno fatto (o avrebbero dovuto fare) durante i nostri corsi!

Grazie dell'attenzione, e occhio perché sono un testone

Proprio leggendo la domanda da te fatta sui Moltiplicatori di Lagrange ho iniziato ad informarmi, quindi ti ringrazio! A tal proposito ti invito a leggere la lezione sui massimi e minimi vincolati in due variabili.

Ti faccio un esempio molto semplice in 3 variabili perché Filosofia non si studierà da sola e l'interrogazione mi tocca farla .
Consideriamo la seguente funzione a tre variabili



vincolata alla sfera



Determinare massimo e minimo vincolati.

Fin qui nulla da ridire; l'insieme S è compatto e per il teorema di Weierstrass la funzione vi ammette massimo e minimo.
Adesso consideriamo la funzione che vien fuori da Lagrange:



Se andiamo a calcolare i punti stazionari ( da discutere ) della funzione , cioè i punti tali che sia viene fuori il seguente sistema:



Se notiamo la prima equazione deve necessariamente essere o o .
La seconda equazione ci dice invece che deve essere o o .

Analizziamo i vari casi:

1) x = y = 0

La z può assumere solo due valori ( sostituendo nella sfera ): - 1 e 1 .. abbiamo perciò individuati i primi due punti e .

2) x = 0 e

In questo caso si ha immediatamente z = 1/2 e sostituendo nella sfera si trova .. i punti individuati sono:

e .

3) y = 0 e

In questo caso si ha immediatamente z = 1/4 e sostituendo nella sfera si trova .. i punti individuati sono:

e .

Sostituendo ora nella funzione iniziale i 6 punti trovati e confrontando i risultati determini qual è il minimo e qual è il massimo.

Siccome è tra le prime volte che lavoro con Lagrange è possibile che abbia scritto qualche inesattezza .. se qualcuno vuol dare una controllata a quanto ho detto sotto spoiler è meglio, ciao!

.... quindi, se ho ben capito, ottieni 4 equazioni sfruttando le 3 derivate parziali e l'equazione di vincolo.
fatto questo risolvi direttamente due delle equazioni e lasci le altre due per poter lavorare sia con la terza incognita che con lamda.

se ho capito come funziona, il minimo dovrebbe essere per

f(0,0,-1) = 0

ed il massimo per

f( (sqrt(15))/4 , 0 , 1/4) = 50/16 = 25/8

.... intanto vediamo se i risultati tornano ed ho capito fino a qui

poi vorrei anche capire come funzionerebbe in un caso con f=f(x,y,z,k), per esempio.
dopo devo risolvere 3 equazioni e tenermene sempre due da risolvere di conseguenza o ne considero 2 e risolvo le restanti 3?
(domanda che mi è spuntata ora, quindi aggiungo di volta in volta )
o ancora: se ho più g?

grazie del post, lo hai fatto sembrare facile

appena mi sarò fatto qualche altro esercizio-esempio vedrò di buttarmi su quella brutta cosa letterale che mi ha fatto sorgere la domanda....

per il momento, grazie!

I risultati sono esatti.

Se hai una funzione a quattro variabili, sostanzialmente non cambia nulla: ti vengono ( in generale ) 4 equazioni che mettono in relazione la funzione f(x, y, z, t) e il vincolo g(x, y, z, t) e discutendo come nel caso precedente ti trovi le soluzioni.
E' solo un po' più complicato risolvere il sistema e fare alcune considerazioni ma non credo possa dare molti problemi una volta compreso come funziona con 2 e 3 variabili.

Se hai più vincoli è molto semplice .. chiamiamoli g(x, y, z) e h(x, y, z) .. la funzione di Lagrange sarà:



Il sistema è più complesso ma alla fin fine non cambia tantissimo.

Se più tardi ne ho il tempo, o al limite domani, ti faccio qualche esempio su questi due dubbi!

mmmm.... detto così pare anche avere senso....

ti ringrazio di nuovo.... ma io sono come san tommaso, se non vedo non credo

quindi ora vai a studiare filosofia , nel mentre attenderò altri esempi!

Ti lascio qualche esercizio da fare ..

- Massimi e Minimi Vincolati ( 2 Variabili )

1)

Nell'insieme

2)

Nell'insieme

3)

Nell'insieme

4)

Nell'insieme

5)

Nell'insieme

- Massimi e Minimi Vincolati ( 3 Variabili )

1)

Nell'insieme

2)

Nell'insieme

- Massimi e Minimi Vincolati ( Vincoli > 1 )

1)

Nell'insieme

Alcuni li ho trovati in giro, alcuni su qualche libro ( chiaramente ho fatto qualche modifica ) .. mentre l'ultimo me lo son proprio inventato quindi non so darti informazioni al riguardo.
Se qualcuno nota imprecisioni negli esercizi che ho proposto sistemi pure!
Beh buon divertimento!

...Il Frank non perdona...Grandioso!

Domani, in un attimo di quiete, posto anch'io un esempiuccio dacchè mi avete ingolosito: niente di che, pensavo a qualcosa di beginner in due variabili.

Nel frattempo: stand by Paolo e buona filosofia, Frank (Kant?) !

Omega ha scritto:


Massimi e Minimi vincolati risolvibili con Lagrange mi stanno davvero appassionando mi cimenterò anch'io con gli esercizi che proporrai.
"Kant?" .. siamo arrivati appena a Sant'Agostino.

Sant'Agostino e il tempo? A mio parere profondo quanto complicato...Ma non voglio essere il diavolo tentatore che conduce off-topic

[Nel frattempo sposto la discussione sotto "Analisi Matematica 2"]

Ciao a tutti, vorrei chiedervi una cosa un pò stupida ^^
Da pochi giorni mi sto cimentando in questo tipo di esercizio, ma non riesco a capire una cosa.
Nel momento in cui vado a fare il gradiente della f e della superficie (in questo caso della sfera) avrò un sistema di equazioni.
I dubbi nascono nel momento in cui vado ad analizzare i casi. Per capire meglio riprendo l'esercizio che ha fatto fran094 si ha:
frank094 ha scritto:


Ok, ora vorrei sapere:
quando vado ad analizzare i vari casi, come faccio a scegliere le equazioni da studiare? Mi spiego meglio, dove vado a sostituire i valori trovati? E perchè?
Spero di essere stata chiara