Lunghezza arco di cicloide

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Lunghezza arco di cicloide #40307

avt
lolloviola
Frattale
Oggi pomeriggio ho fatto un esercizio sul calcolo della lunghezza di un arco di cicloide, e non sono riuscito a trarne una conclusione.

Trovare la lunghezza dell'arco di cicloide

\begin{cases}x = r(t-\sin(t))\\ y = r(1-\cos(t))\end{cases}

con t\in [0,2\pi].

Io ho applicato la formula della lunghezza di una curva facendo la derivate, elevandole al quadrato e poi sommandole sotto radice, però non arrivo al risultato voluto di 8r.

Grazie mille!
 
 

Lunghezza arco di cicloide #40314

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao lolloviola,

innanzitutto ti suggerisco la lettura della lezione sulla lunghezza di una curva, sono sicuro che ti darà diversi spunti utili.

L'integrale con cui determinare la lunghezza della cicloide è:

\\ L= \int_{0}^{2\pi}\sqrt{r^2 (1-\cos(t))^2+r^2\sin^2(t)}dt=\\ \\ \\ = \int_{0}^{2\pi}\sqrt{r^2(1-2\cos(t)+\cos^2(t)+\sin^2(t))}dt

Per la relazione fondamentale della trigonometria \sin^2(t)+\cos^2(t)=1 (nel caso, vedi formule goniometriche)

\\ = \int_{0}^{2\pi}\sqrt{r^2(1-2\cos(t)+1)}dt=\\ \\ =\int_{0}^{2\pi}r \sqrt{2-2\cos(t)}dt

(nota che r>0 dunque \sqrt{r^2}=r).

Poiché

\cos(2x)= 1-2\sin^2(x)

si ha che

\cos\left(t\right)=1-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)

e dunque

\\ =\int_{0}^{2\pi}r \sqrt{2-2\left(1-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right)}dt= \\ \\ \\ =r\int_{0}^{2\pi} \sqrt{2-2+4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)}dt=\\ \\ \\ =r\int_{0}^{2\pi} \sqrt{4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)}dt=\\ \\ \\ =2r\int_{0}^{2\pi}\left|\sin\left(\frac{t}{2}\right)\right|dt=

Poiché nell'intervallo considerato la funzione seno di t/2 è non negativa, possiamo togliere il valore assoluto:

\\ =2r\int_{0}^{2\pi}\sin\left(\frac{t}{2}\right)dt=\\ \\ \\ =2r \left[-2\cos\left(\frac{t}{2}\right)\right]_{0}^{2\pi}=\\ \\ \\ =8r
Ringraziano: Omega, Pi Greco, lolloviola, CarFaby
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Os