Formula di Taylor al secondo ordine in due variabili e piano tangente

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Formula di Taylor al secondo ordine in due variabili e piano tangente #40163

avt
lopez90
Punto
Ciao a tutti, avrei bisogno di aiuto con la risoluzione di un esercizio sulla formula di Taylor in due variabili, al secondo ordine, e sull'equazione del piano tangente.

Il testo: sia g:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} data da

g(x,y)=xy^2+2xy.

Scrivere la formula di Taylor al secondo ordine per g in (x,y)=(1,-1).
Scrivere le equazioni di differenziale di piano tangente al grafico, spazio tangente al grafico di g in (x,y)=(1,-1).

Grazie mille!
 
 

Formula di Taylor al secondo ordine in due variabili e piano tangente #40166

avt
Omega
Amministratore
Ciao Lopez90, benvenuto in YouMath emt

Possiamo certamente scrivere la formula Taylor al secondo ordine, perché la funzione

f(x,y)=xy^2+2xy

è una funzione polinomiale e dunque derivabile con continuità infinite volte.

Si tratta solamente di calcolare le derivate parziali prime e seconde

f_x(x,y)=y^2+2y

f_y(x,y)=2xy+2x

f_{xx}(x,y)=0

f_{xy}(x,y)=2y+2=f_{yx}(x,y)

f_{yy}(x,y)=2x

di valutarle nel punto P_0=(x_0,y_0)=(1,-1) e di sostituire il tutto nella formula

f(x_0+h,y_0+k)=f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)\cdot h+f_y(x_0,y_0)\cdot k+

+\frac{1}{2!}[f_{xx}(x_0,y_0)h^2+2f_{xy}(x_0,y_0)hk+f_{yy}(x_0,y_0)k^2]+

+R(h,k)

Per quel che riguarda l'equazione del piano tangente (credo che tu intenda questo con "equazioni di differenziale di piano tangente") devi solo scrivere

z=f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)

cioè lo sviluppo in serie di Taylor in due variabili arrestato al primo ordine.
Ringraziano: Pi Greco, Galois, giangiullo, domenica.m

Re: Formula di Taylor al secondo ordine in due variabili e piano tangente #40250

avt
lopez90
Punto
Grazie mille, risposta completa ed esauriente!
Ringraziano: Omega
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Os