Equazione differenziale del secondo ordine con condizioni iniziali
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#39933
![]() StudenteMarconi Cerchio | Ciao, altra tornata ed altro quesito! Mi sapreste dare una mano per risolvere un problema di Cauchy? Ho un'equazione differenziale con condizioni iniziali, ed è l'esercizio che vale di più nei test quindi vorrei capire bene il procedimento! Grazie d'esistere! ![]() |
#39967
![]() Ifrit Amministratore | Abbiamo quindi il problema di Cauchy: ![]() Per prima cosa consideriamo l'equazione differenziale. Si tratta di un'equazione differenziale lineare del secondo ordine non omogenea a coefficienti costanti. La risolveremo applicando il metodo della somiglianza. Partiamo dall'equazione differenziale del secondo ordine a coefficienti costanti ed omogenea ad essa associata, e consideriamo l'equazione caratteristica: ![]() La soluzione dell'omogenea associata è quindi: ![]() con Andiamo alla ricerca della soluzione particolare: Osserviamo che al secondo membro abbiamo una funzione polinomiale di grado 1, pertanto possiamo pensare di determinare la soluzione particolare nella forma: ![]() Calcoliamo la derivata prima e seconda: ![]() ![]() Sostituiamo nella equazione differenziale: ![]() Grazie al principio di identità dei polinomi possiamo costruire il sistema: ![]() Risolvendo il sistema lineare otterremo che ![]() La soluzione particolare è quindi: ![]() La famiglia delle soluzioni dell'equazione differenziale associata al problema di Cauchy è: ![]() Imponiamo la condizione iniziale: ![]() Calcoliamo la derivata prima ![]() e imponiamo la seconda condizione iniziale: ![]() Otteniamo quindi il sistema: ![]() Risolvendo il sistema otterrai che: ![]() ![]() In definitiva, la soluzione del problema di Cauchy è: ![]() Abbiamo finito! |
Ringraziano: Omega, Pi Greco, StudenteMarconi, CarFaby, vanBerkel |
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