Abbiamo quindi il problema di Cauchy:
Per prima cosa consideriamo l'equazione differenziale. Si tratta di un'equazione differenziale lineare del secondo ordine non omogenea a coefficienti costanti.
La risolveremo applicando il
metodo della somiglianza.
Partiamo dall'
equazione differenziale del secondo ordine a coefficienti costanti ed omogenea ad essa associata, e consideriamo l'equazione caratteristica:
La soluzione dell'omogenea associata è quindi:
con

costanti reali da determinare tramite le condizioni iniziali (lo faremo in seguito).
Andiamo alla ricerca della soluzione particolare:
Osserviamo che al secondo membro abbiamo una funzione polinomiale di grado 1, pertanto possiamo pensare di determinare la soluzione particolare nella forma:
Calcoliamo la derivata prima e seconda:
Sostituiamo nella equazione differenziale:
Grazie al
principio di identità dei polinomi possiamo costruire il sistema:
Risolvendo il
sistema lineare otterremo che

mentre:
La soluzione particolare è quindi:
La famiglia delle soluzioni dell'equazione differenziale associata al problema di Cauchy è:
Imponiamo la condizione iniziale:
Calcoliamo la derivata prima
e imponiamo la seconda condizione iniziale:
Otteniamo quindi il sistema:
Risolvendo il sistema otterrai che:
In definitiva, la soluzione del problema di Cauchy è:
Abbiamo finito!