Equazione differenziale del secondo ordine con condizioni iniziali

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Equazione differenziale del secondo ordine con condizioni iniziali #39933

avt
StudenteMarconi
Cerchio
Ciao, altra tornata ed altro quesito! Mi sapreste dare una mano per risolvere un problema di Cauchy? Ho un'equazione differenziale con condizioni iniziali, ed è l'esercizio che vale di più nei test quindi vorrei capire bene il procedimento!

Grazie d'esistere!

y''-4y'+3y = x ; y(0) = (4)/(9) ; y'(0) = (4)/(3)
 
 

Equazione differenziale del secondo ordine con condizioni iniziali #39967

avt
Ifrit
Amministratore
Abbiamo quindi il problema di Cauchy:

y''-4y'+3y = x ; y(0) = (4)/(9) ; y'(0) = (4)/(3)

Per prima cosa consideriamo l'equazione differenziale. Si tratta di un'equazione differenziale lineare del secondo ordine non omogenea a coefficienti costanti.

La risolveremo applicando il metodo della somiglianza.

Partiamo dall'equazione differenziale del secondo ordine a coefficienti costanti ed omogenea ad essa associata, e consideriamo l'equazione caratteristica:

λ^2-4λ+3 = 0 ⇔ λ_1 = 1 ∨ λ_2 = 3

La soluzione dell'omogenea associata è quindi:

y_0(x) = c_1e^(3 x)+c_2e^(x)

con c_1, c_2 costanti reali da determinare tramite le condizioni iniziali (lo faremo in seguito).

Andiamo alla ricerca della soluzione particolare:

Osserviamo che al secondo membro abbiamo una funzione polinomiale di grado 1, pertanto possiamo pensare di determinare la soluzione particolare nella forma:

y_p(x) = Ax+B

Calcoliamo la derivata prima e seconda:

y_p'(x) = A

y_p''(x) = 0

Sostituiamo nella equazione differenziale:

-4A+3(Ax+B) = x ⇔ 3Ax+3B-4A = x

Grazie al principio di identità dei polinomi possiamo costruire il sistema:

3A = 1 ; 3B-4A = 0

Risolvendo il sistema lineare otterremo che A = (1)/(3) mentre:

B = (4)/(9)

La soluzione particolare è quindi:

y_p(x) = (1)/(3)x+(4)/(9)

La famiglia delle soluzioni dell'equazione differenziale associata al problema di Cauchy è:

y(x) = y_0(x)+y_p(x) = c_1 e^(3x)+c_2e^(x)+(1)/(3)x+(4)/(9)

Imponiamo la condizione iniziale:

c_1+c_2+(4)/(9) = (4)/(9)

Calcoliamo la derivata prima

y'(x) = 3c_1 e^(3x)+c_2 e^x+(1)/(3)

e imponiamo la seconda condizione iniziale:

(1)/(3)+3c_1+c_2 = (4)/(3)

Otteniamo quindi il sistema:

c_1+c_2+(4)/(9) = (4)/(9) ; (1)/(3)+3c_1+c_2 = (4)/(3)

Risolvendo il sistema otterrai che:

c_1 = (1)/(2)

c_2 = -(1)/(2)

In definitiva, la soluzione del problema di Cauchy è:

y(x) = (1)/(2)e^(3x)-(1)/(2)e^(x)+(1)/(3)x+(4)/(9)

Abbiamo finito!
Ringraziano: Omega, Pi Greco, StudenteMarconi, CarFaby, vanBerkel
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Os