Verificare se l'integrale improprio converge, e in caso affermativo se converge assolutamente

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Verificare se l'integrale improprio converge, e in caso affermativo se converge assolutamente #38917

  • xavier310
  • avt
  • Sfera
Buonasera! Scrivo la risoluzione di un esercizio riguardante gli integrali impropri, che non è molto chiaro: riguarda la convergenza e la convergenza assoluta.

Praticamente ho questo integrale

I=\int_{1}^{\infty} \frac{cos(x)}{\sqrt{x}} dx

e devo verificare se converge, e in caso affermativo se converge assolutamente

Allora, in questo caso non possiamo prendere in considerazione al funzione maggiorante

 \left|\frac{cos(x)}{\sqrt{x}}\right |\le  \frac{1}{\sqrt{x}}

perchè il secondo termine non è dotata di integrale improprio su [1,+\infty)

]L'espressione: non è dotata di integrale improprio vuol dire che facendo l'integrale ottengo come valore \infty esatto?

Ok, si passa allora all'integrazione per parti

\int_{1}^{M} \frac{cos(x)}{\sqrt{x}} dx=\left[\frac{sin(x)}{\sqrt{x}}\right ] _{1}^{M}-\frac{3}{2}\int_{0}^{M}\frac{sin(x)}{x\sqrt{x}}dx

Perchè prende in considerazione l'intervallo d'integrazione [0,M) e non più [1,M)

E poi mi dice:

tenuto conto che esiste il limite:

\lim_{M\to \infty}{\left[\frac{cos(x)}{\sqrt{x}}}\right]_{1}^{M}=cos(1)


Ma da dove l'ha tirata fuori questa ultima considerazione?
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Re: Verificare se l'integrale improprio converge, e in caso affermativo se converge assolutamente #38929

  • xavier310
  • avt
  • Sfera
Per quanto riguarda la seconda parte mi sono accorto che probabilmente c'è un errore nel testo dell'esercizio

\lim_{M\to \infty}{\left[\frac{cos(x)}{\sqrt{x}}}\right]_{1}^{M}=cos(1)

intendeva

\lim_{M\to \infty}{\left[-\frac{sin(x)}{\sqrt{x}}}\right]_{1}^{M}=sin(1)

(Questi sono i prof che prima si dilettano a dispensare esercizi e poi non sono in grado di dare una risoluzione decente)
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Re: Verificare se l'integrale improprio converge, e in caso affermativo se converge assolutamente #38932

  • Omega
  • avt
  • Amministratore
Ciao Saverio emt vediamo un po' come comportarci nel caso dell'integrale improprio

I=\int_{1}^{\infty} \frac{cos(x)}{\sqrt{x}} dx

e devo verificare se converge, e in caso affermativo se converge assolutamente.

Allora, in questo caso non possiamo prendere in considerazione al funzione maggiorante

\left|\frac{cos(x)}{\sqrt{x}}\right |\le  \frac{1}{\sqrt{x}}

perché il secondo termine non è dotata di integrale improprio su [1,+\infty) ]

Vero, perché l'integrale

\int_{1}^{\infty}{\frac{1}{\sqrt{x}}dx}

non converge (cfr. tabella degli integrali impropri notevoli, oppure lo si può vedere direttamente applicando la definizione di integrale improprio).

L'espressione: non è dotata di integrale improprio vuol dire che facendo l'integrale ottengo come valore \infty esatto?


Sì, ma non solo: può voler dire anche che l'integrale improprio non esiste nel senso vero o proprio del termine. Questo perché un integrale improprio è essenzialmente il limite di un integrale, e un limite può non esistere.

In generale è più corretto dire che l'integrale improprio non converge.

Ok, si passa allora all'integrazione per parti

\int_{1}^{M} \frac{cos(x)}{\sqrt{x}} dx=\left[\frac{sin(x)}{\sqrt{x}}\right ] _{1}^{M}-\frac{3}{2}\int_{0}^{M}\frac{sin(x)}{x\sqrt{x}}dx

Perché prende in considerazione l'intervallo d'integrazione [0,M) e non più [1,M) ]

È un errore: devi considerare come estremo inferiore di integrazione 1, non 0.

E poi mi dice:

tenuto conto che esiste il limite:

\lim_{M\to \infty}{\left[\frac{cos(x)}{\sqrt{x}}}\right]_{1}^{M}=cos(1)


Ma da dove l'ha tirata fuori questa ultima considerazione?

Chi può dirlo, se non il redattore del testo? emt

Piuttosto, da

\int_{1}^{M} \frac{cos(x)}{\sqrt{x}} dx=\left[\frac{sin(x)}{\sqrt{x}}\right ] _{1}^{M}-\frac{3}{2}\int_{1}^{M}\frac{sin(x)}{x\sqrt{x}}dx

osserva che il secondo integrale converge al limite per M\to +\infty, infatti si può maggiorare il modulo dell'integranda

\left|\frac{\sin{(x)}}{x\sqrt{x}}}\right|\leq \frac{1}{x\sqrt{x}}

con una funzione integrabile in senso improprio su [1,+\infty).

Per la prima parte, ossia il primo addendo, osserva che

\left[\frac{\sin{(x)}}{\sqrt{x}}\right]_1^M=\frac{\sin{(M)}}{M}-\frac{\sin{(1)}}{1}\to_{M\to +\infty} 0-\sin{(1)}

infatti il seno è una funzione limitata tra [-1,+1], e il denominatore è un infinito al tendere di M\to +\infty.

Ringraziano: Pi Greco, xavier310

Re: Verificare se l'integrale improprio converge, e in caso affermativo se converge assolutamente #38938

  • xavier310
  • avt
  • Sfera
Tutto chiaro emt in pratica la maggior parte dei problemi riguardavamo errori di scrittura del testo, e quindi uno si fa mille complessi perché pensa che probabilmente gli è sfuggito qualcosa.

Per quanto riguarda la convergenza assoluta, so che (sotto opportune condizioni) se l'integrale è assolutamente convergente allora converge, ma non sempre vale l'affermazione inversa.

Quindi nel nostro caso, dobbiamo valutare la convergenza assoluta della funzione come se fosse un esercizio indipendente?
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Re: Verificare se l'integrale improprio converge, e in caso affermativo se converge assolutamente #38951

  • Omega
  • avt
  • Amministratore
Di niente!

Nel nostro caso, sì. In linea generale, però, vale la pena di studiare prima la convergenza assoluta, perché in caso di esito positivo si risparmia la seconda parte dell'esercizio...

Ringraziano: xavier310
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Os