Lunghezza di una curva in R^3, esercizio

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Lunghezza di una curva in R^3, esercizio #38698

avt
Aldoman
Cerchio
Ciao, in un esercizio mi viene chiesto di calcolare la lunghezza della seguente curva:

\gamma(t)=(t cos(t),t sin(t),t)

con 0\leq t \leq 10 \pi.

Ho calcolato il modulo del vettore delle derivate |\gamma '(t)|, ottenendo: \sqrt{2+t^2}.

Adesso non so come spezzarla, e come continuare per ottenere tale lunghezza. Qualcuno gentilmente può aiutarmi?

Grazie!
 
 

Lunghezza di una curva in R^3, esercizio #38706

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao aldoman! emt

La prima parte è corretta, il problema è determinare l'integrale indefinito della funzione \sqrt{2+t^2}, cioè:

\int\sqrt{2+t^2}dt= \int \sqrt{2}\sqrt{1+\frac{t^2}{2}}dt=

=\int \sqrt{2} \sqrt{1+\left(\frac{t}{\sqrt{2}}\right)^2}dt

A questo punto procediamo per sostituzione:

x= \frac{t}{\sqrt{2}}\implies dx= \frac{1}{\sqrt{2}}dt

dt= \sqrt{2}dx

L'integrale quindi diventa:

=\int \sqrt{2} \sqrt{1+x^2}\sqrt{2}dx=

= \int 2 \sqrt{1+x^2}dx= 2\int \sqrt{1+x^2}dx

Questo integrale è tabulato ed è uguale a:


2\left(\frac{x}{2}\sqrt{x^2+1}+\frac{1}{2}\ln(x+\sqrt{x^2+1})\right)+c=

=x\sqrt{x^2+1}+\ln(x+\sqrt{x^2+1})+c

Tornando in t:


\int\sqrt{2+t^2}dt= \frac{t}{\sqrt{2}}\sqrt{\frac{t^2}{2}+1}+\ln\left(\frac{t}{\sqrt{2}}+\sqrt{\frac{t^2}{2}+1}\right)+c


A questo punto per determinare la lunghezza:

L=\int_{0}^{10\pi}\sqrt{2+t^2}dt= \left[\frac{t}{\sqrt{2}}\sqrt{\frac{t^2}{2}+1}+\ln\left(\frac{t}{\sqrt{2}}+\sqrt{\frac{t^2}{2}+1}\right)+c\right]_{0}^{10\pi}=

=5\pi\sqrt{2+100\pi^2}+\ln\left(\frac{10\pi+\sqrt{2+100\pi^2}}{\sqrt{2}}\right)

Non è un bellissimo numero :\
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Aldoman, Phi-ϕ-57

Re: Lunghezza di una curva in R^3, esercizio #38794

avt
Aldoman
Cerchio
emt
Ciao!
Non capisco bene,come fai a porre la quantità:
\int \sqrt (2+t^2)dt}
uguale a:
\int \sqrt(2)*\sqrt(1+\frac{t^2}{2})dt}
e poi il passaggio successivo come viene? Grazie!

Re: Lunghezza di una curva in R^3, esercizio #38798

avt
Ifrit
Amministratore
Ho utilizzato le proprietà della radice emt

\sqrt{2+t^2}= [\mbox{mettiamo in evidenza } 2]=

\sqrt{2\left(1+\frac{t^2}{2}\right)}

(ricorda la proprietà delle radici:

\sqrt{a b}=\sqrt{a}\sqrt{b}\quad a, b>0
)

\sqrt{2\left(1+\frac{t^2}{2}\right)}=\sqrt{2}\sqrt{1+\frac{t^2}{2}}

Possiamo scrivere 2= (\sqrt{2})^2


\sqrt{2}\sqrt{1+\frac{t^2}{2}}=\sqrt{2}\sqrt{1+\frac{t^2}{(\sqrt{2})^2}}

Per la proprietà delle potenze:

\frac{a^n}{b^n}= \left(\frac{a}{b}\right)^n

si ha che:

\frac{t^2}{(\sqrt{2})^2}= \left(\frac{t}{\sqrt{2}}\right)^2

Possiamo concludere che:

\sqrt{2}\sqrt{1+\frac{t^2}{2}}=\sqrt{2}\sqrt{1+\left(\frac{t}{\sqrt{2}}\right)^2}


emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Aldoman
  • Pagina:
  • 1
Os