Integrale di una forma differenziale lungo una parabola

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Integrale di una forma differenziale lungo una parabola #37985

avt
lolloviola
Frattale
Come posso procedere nel calcolo dell'integrale della seguente forma differenziale lungo un arco di parabola?

L'integrale è da calcolare tra i punti P_1,P_2, e la forma differenziale è

(x^2-y)dx+(y^2+x)dy

lungo la parabola y = x^2+1 che va da P_1 = (0,1) a P_2 = (1,2).

Grazie mille a tutti!
 
 

Integrale di una forma differenziale lungo una parabola #37996

avt
Omega
Amministratore
Ciao Lolloviola,

per calcolare l'integrale di linea di seconda specie

∫_(P_1)^(P_2)(x^2-y)dx+(y^2+x)dy

lungo la curva data dal ramo di parabola y = x^2+1 tra i punti P_1 = (0,1) e P_2 = (1,2) bisogna innanzitutto procurarsi una parametrizzazione per il ramo di parabola.

Scegliamo la parametrizzazione più naturale possibile, ponendo

x = t

da cui

y = t^2+1

Abbiamo così parametrizzato il ramo di parabola come

r(t) = [t,t^2+1] dove t∈ [0,1].

A questo punto si tratta solamente di scrivere l'integrale di linea sostituendo a x,y le corrispondenti componenti parametriche e a dx,dy gli opportuni differenziali, calcolati per differenziazione

∫_(0)^(1)(t^2-t^2-1)dt+(t^4+2t^2+1+t)(2tdt)

Ora l'integrale rasenta il limite del banale per uno studente di un corso di Analisi 2.
Ringraziano: Pi Greco

Integrale di una forma differenziale lungo una parabola #37997

avt
lolloviola
Frattale
Il risultato dovrebbe essere 2.

Ma come mai lo facciamo solo con estremo di integrazione il punto P_1, e non anche il punto P_2 ?

Grazie!

Integrale di una forma differenziale lungo una parabola #38002

avt
Omega
Amministratore
Il risultato è corretto.

Se ci fai caso ho proprio considerato entrambi i punti, perché gli estremi di integrazione nella parametrizzazione si riferiscono alle ascisse dei punti P_1,P_2.
Ringraziano: lolloviola
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Os