Calcolo di un integrale doppio con cambiamento di variabili

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Calcolo di un integrale doppio con cambiamento di variabili #37530

avt
marymangio
Cerchio
Ciao a tutti, scrivo per chiedere se lo svolgimento del seguente esercizio su un integrale doppio con cambiamento di coordinate è corretto

∫ ∫_(D)(2x-y)e^(y-x^2) dx dy

dove il dominio di integrazione D è:

D: = (x,y) ∈ R^2 : x^2-3 ≤ y ≤ x^2+3, -1 ≤ x ≤ 1

Divido per x le disequazioni:

x^2-3 ≤ y

y ≤ x^2+3

ed ottengo, rispettivamente:

3-3/x ≤ y/x

y/x ≤ 3+3/x

effettuo il cambio di variabili

y/x = u , x = v ;

Quindi il nuovo dominio sarà :

-1 ≤ v 1

3-3/v ≤ u ≤ 3+3/v

Avrò fatto un disastro , però voi siete qui anche per questo ... emt
 
 

Calcolo di un integrale doppio con cambiamento di variabili #37535

avt
Omega
Amministratore
Ciao Marymangio emt

Dividere i membri di una disequazione per un termine contenente un'incognita senza addurre alcuna motivazione, o comunque in generale, è una follia che può costarti qualche mese di studio. . .

Per calcolare l'integrale, puoi sostituire direttamente

u = x ; v = y-x^2

nota infatti che possiamo riscrivere le disequazioni che definiscono il dominio di integrazione nella forma

-3 ≤ y-x^2 ≤ +3, -1 ≤ x ≤ +1

che equivale a

hatT = -3 ≤ v ≤ +3, -1 ≤ u ≤ +2

La funzione integranda diventa

f(x,y) = (2x-y)e^(y-x^2) → f(u,v) = (2u-v-u^2)e^(v)

Resta da capire come si trasforma l'elemento d'area nel nuovo sistema di coordinate: ci serve lo Jacobiano della funzione che esprime il cambio di variabili

dxdy → |J|dudv

e per calcolarlo servono le trasformazioni inverse, che possiamo ricavare da

u = x ; v = y-x^2

con semplici passaggi algebrici

x = u ; y = v+u^2

La matrice Jacobiana associata al cambiamento delle coordinate è

[ x_u x_v ; y_u y_v ] = [ 1 0 ; 2u 1 ]

che ha determinante in modulo pari a |J| = 1.

Devi dunque calcolare

∫∫_(hatT)(2u-v-u^2)e^(v)dudv
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, marymangio, CarFaby

Calcolo di un integrale doppio con cambiamento di variabili #37536

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao Marymangio, la sostituzione che proponi non funziona, perché complica notevolmente l'integrale. Inoltre, la divisione per x non è una cosa furba perché (implicitamente) supponi che x sia diverso da zero (e questo non è vero, x varia tra -1 e 1).

Osservando la funzione integranda salta all'occhio l'esponente dell'esponenziale y-x^2, deve suonarti un piccolo campanello d'allarme, a questo punto ti devi chiedere, "E' possibile esprimere il dominio in funzione del termine y-x^2?" La risposta è sì. Vediamo perché!
Da

x^2-3 ≤ y ≤ x^2+3

sottraendo membro a membro per x^2

-3 ≤ y-x^2 ≤ 3

Ottimo! Poniamo u = y-x^2 e v = x

La trasformazione inversa è quindi:

x = v qquad, y = u+v^2

Calcola lo Jacobiano della trasformazione che

|J| = 1

Il dominio si riscrive come:

D = (u,v)∈R^2:-3 ≤ u ≤ 3,-1 ≤ v ≤ 1


Mentre l'integrale diventa:

∫_(-3)^(3)∫_(-1)^(1)e^(u)(2 v-v^2-u)dv du =


∫_(-3)^(3)e^(u)∫_(-1)^(1) (2 v-v^2-u)dv du =

∫_(-3)^(3)e^(u)(-(2)/(3)-2u)du

che puoi "tranquillamente" risolvere.

Se hai dubbi, chiedi pure emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, marymangio, CarFaby

Re: Calcolo di un integrale doppio con cambiamento di variabili #37589

avt
marymangio
Cerchio
Grazie per avermi risposto e per farlo sempre in modo così chiaro , purtroppo lo stavo svolgendo così , seguendo un pò ill metodo risolutivo che si adotta quando si ha questo tipo di esercizi però probabilmente dividere per x si può fare quando ho un dominio del tipo : 2x ≤ y ≤ 3x ad esempio ... in modo che poi pongo y/x = u ... ma non era questo il caso . emt
Ringraziano: Omega

Re: Calcolo di un integrale doppio con cambiamento di variabili #37613

avt
Omega
Amministratore
Di niente, figurati! emt

Il punto è che puoi dividere per un termine contenente l'incognita solamente quando il dominio considerato garantisce che il divisore sia ovunque negativo sul dominio oppure ovunque positivo sul dominio. In parole povere, il divisore non deve presentare variazioni di segno sul dominio, e non deve ivi annullarsi. emt
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, CarFaby
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Os