Integrale doppio con funzione non integrabile elementarmente rispetto a y

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Integrale doppio con funzione non integrabile elementarmente rispetto a y #37521

avt
peppe30
Cerchio
Ciao a tutti, ho un problema con un integrale doppio, in cui con un determinato ordine di integrazione ho una funzione non integrabile rispetto alla y.

Nel risolvere l'integrale siny/y dydx sull'insieme di integrazione

A = { (x,y) : 0<x<pigreco ; x<y<pigreco }

ho trovato difficoltà ad esprimere il dominio in modo tale che possa risolvere l'integrale per orizzontali.

Potreste mostrarmi come è possibile passare dal dominio iniziale a quello in cui è possibile risolvere l' integrale per orizzontali?
 
 

Integrale doppio con funzione non integrabile elementarmente rispetto a y #37527

avt
Omega
Amministratore
Ciao Peppe30 emt

Il dominio, definito così com'è, è espresso in forma normale rispetto all'asse delle ascisse

A: = (x,y)∈R^2 t.c. 0 < x < π, x ≤ y ≤ π

ed individua il triangolo compreso tra le rette y = x (bisettrice del primo e del terzo quadrante), x = 0 (asse delle ordinate) e y = π (retta orizzontale di ordinata π).

Il guaio, come hai già correttamente osservato, è che l'integrale in dy in

∫_(0)^(π)∫_(x)^(π)(sin(y))/(y)dydx

non ha una primitiva esprimibile in termini di funzioni elementari.

La strategia prevede proprio di invertire l'ordine di integrazione - il che è consentito grazie al teorema di Fubini-Tonelli, integrando prima rispetto a x e poi rispetto a y. Per farlo doobbiamo necessariamente esprimere il dominio di integrazione come dominio normale rispetto all'asse delle y.

Il disegno può aiutarci molto: le ordinate devono variare tra

y∈(0,π)

mentre le ascisse (traccia una retta orizzontale) devono variare tra

x∈ (0,y)

Puoi dunque equivalentemente calcolare

∫_(0)^(π)∫_(0)^(y)(sin(y))/(y)dxdy

con il quale non dovresti avere alcun problema. emt
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, CarFaby

Re: Integrale doppio con funzione non integrabile elementarmente rispetto a y #38041

avt
AntonioD
Frattale
Ciao ragazzi, scusate se ritorno su questo post un po vecchiotto...emt

Potete per favore spiegarmi perchè l'integrale in dy non ha una primitiva esprimibile in termini di funzioni elementari? Vi ringrazio emt

Re: Integrale doppio con funzione non integrabile elementarmente rispetto a y #38048

avt
Omega
Amministratore
Ciao AntonioD emt

Nessun problema, i vecchi topic sono aperti proprio perché il Forum è per il beneficio di tutti, non solo per il richiedente. emt

Semplicemente perché non esiste alcuna funzione esprimibile come composizione di funzioni elementari tale da avere come derivata

(sin(y))/(y)

Le primitive di tale funzione ammettono infatti come unica rappresentazione la rappresentazione integrale. emt
Ringraziano: Pi Greco, CarFaby
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Os