Volume di un insieme con integrale triplo e coordinate sferiche

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Volume di un insieme con integrale triplo e coordinate sferiche #37030

avt
AntonioD
Frattale
Dovrei calcolare il volume di un insieme, usando gli integrali tripli e il passaggio alle coordinate sferiche. Ho l'impressione che l'insieme sia la parte di spazio limitata da una sfera e un cono, ma non ne sono sicuro.

Calcolare il volume dell'insieme P definito da:

P=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \ : \ x^2 + y^2 + z^2 \le 1,\ z\ge 0,\ x^2 +y^2 \le z^2\right\}

Grazie.
 
 

Volume di un insieme con integrale triplo e coordinate sferiche #37075

avt
Omega
Amministratore
Consideriamo l'insieme

P=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \ : \ x^2 + y^2 + z^2 \le 1,\ z\ge 0,\ x^2 +y^2 \le z^2\}


Analisi dell'insieme P

Prima di calcolarne il volume con gli integrali tripli, dobbiamo comprendere com'è fatto l'insieme P. Esso è definito dalle condizioni:

\bullet \ \ \ x^2+y^2+z^2\le 1

che individua l'insieme dei punti dello spazio limitato dalla sfera di equazione x^2+y^2+z^2=1, di centro nell'origine e raggio R=1.

\bullet \ \ \ z\ge 0

che individua l'insieme dei punti dello spazio che giacciono al di sopra del piano di equazione z=0, piano incluso.

\bullet \ \ \ x^2+y^2\le z^2

individua, infine, l'insieme dei punti dello spazio che sono interni al cono, di vertice nell'origine e asse di simmetria parallelo all'asse delle quote.

Alla luce delle precedenti considerazioni, P è l'insieme formato dai punti dello spazio che giacciono al di sopra del piano base Oxy e che sono contenuti nella porzione di spazio limitata dalla sfera e dal cono.


Calcolo del volume di P

Calcoliamo il volume di P che coincide con l'integrale triplo di 1 su P

\mbox{Vol}(P)=\iiint_{P}1dxdydz

Per determinarne il valore passiamo dalle coordinate cartesiane alle coordinate sferiche

\Phi(\rho,\theta,\varphi)=\begin{cases}x=\rho\sin(\varphi)\cos(\theta)\\ y=\rho\sin(\varphi)\sin(\theta)\\ z=\rho\cos(\varphi)\end{cases}

dove \rho è un numero reale non negativo, mentre gli intervalli di variazione naturale per \theta\ \mbox{e} \ \varphi sono rispettivamente

\theta\in[0,2\pi) \ \ \ , \ \ \ \varphi\in [0,\pi]

Sostituiamo le espressioni di x,y,z nelle relazioni che definiscono P partendo dalla prima.

La condizione

x^2+y^2+z^2\le 1

diventa

\\ \left[\rho\sin(\varphi)\cos(\theta)\right]^2+[\rho\sin(\varphi)\sin(\theta)]^2+[\rho\cos(\varphi)]^2\le 1 \\ \\ \rho^2\sin^2(\varphi)\cos^2(\theta)+\rho^2\sin^2(\varphi)\sin^2(\theta)+\rho^2\cos^2(\varphi)\le 1

Raccogliamo parzialmente il termine \rho^2\sin^2(\varphi) tra i primi due addendi

\rho^2\sin^2(\varphi)[\cos^2(\theta)+\sin^2(\theta)]+\rho^2\cos^2(\varphi)\le 1

e usiamo la relazione fondamentale della goniometria

\rho^2\sin^2(\varphi)+\rho^2\cos^2(\varphi)\le 1

Mettendo in evidenza \rho^2 e usando nuovamente la relazione fondamentale, perveniamo alla disuguaglianza che vincola la variabile \rho (che ricordiamo essere non negativa)

\rho^2\le 1 \ \ \ \to \ \ \ 0\le \rho\le 1

La relazione z\ge 0 diventa:

\rho\cos(\varphi)\ge 0

che per \rho>0 è equivalente alla disequazione goniometrica

\cos(\varphi)\ge 0

dove \varphi\in [0,\pi], per cui:

\cos(\varphi)\ge 0 \ \ \ \to \ \ \ 0\le\varphi\le\frac{\pi}{2}

La relazione

x^2+y^2\le z^2

si traduce infine in

\left[\rho\sin(\varphi)\cos(\theta)\right]^2+\left[\rho\sin(\varphi)\sin(\theta)\right]^2\le[\rho\cos(\varphi)]^2

da cui

\rho^2\sin^2(\varphi)\cos^2(\theta)+\rho^2\sin^2(\varphi)\sin^2(\theta)\le \rho^2\cos^2(\varphi)

Semplifichiamo il primo membro raccogliendo \rho^2\sin^2(\varphi) e usando la relazione fondamentale

\rho^2\sin^2(\varphi)\le \rho^2\cos^2(\varphi)

Trasportiamo tutto al primo membro

\rho^2\sin^2(\varphi)-\rho^2\cos^2(\varphi)\le 0

mettiamo in evidenza \rho^2

\rho^2(\sin^2(\varphi)-\cos^2(\varphi))\le 0

e sfruttiamo le formule di duplicazione del coseno che consentono di riscrivere \sin^2(\varphi)-\cos^2(\varphi) come -\cos(2\varphi)

-\rho^2\cos(2\varphi)\le 0

Cambiato segno ai membri e invertito il verso, per \rho>0 la disequazione diviene

\cos(2\varphi)\ge 0

da cui, tenuto conto del vincolo 0\le \varphi\le\frac{\pi}{2}, ricaviamo

0\le\varphi\le\frac{\pi}{4}

Si noti che le precedenti relazioni non hanno generato alcun vincolo per \theta che, quindi, varierà nel suo intervallo naturale [0,2\pi).

] La controimmagine di P mediante \Phi è quindi:

\Phi^{-1}(P)=\left\{(\rho,\theta,\varphi) \ : \ 0\le \rho\le 1, \ 0\le \theta<2\pi, \ 0\le \varphi\le\frac{\pi}{4}\right\}

Nel momento in cui si procede per sostituzione, non bisogna dimenticarsi dello Jacobiano che per il passaggio alle coordinate sferiche è

\mbox{det}(J_{\Phi})=\rho^2\sin(\varphi)

per cui il nuovo differenziale sarà

dxdydz=|\mbox{det}(J_{\Phi})|d\rho d\theta d\varphi=\rho^2\sin(\varphi)d\rho d\theta d\varphi

Abbiamo finalmente tutti gli elementi per calcolare il volume di P

\\ \mbox{Vol}(P)=\iiint_{P}1dxdydz=\iiint_{\Phi^{-1}(P)}1\cdot|\mbox{det}(J_{\Phi})|d\rho d\theta d\varphi= \\ \\ \\ =\iiint_{\Phi^{-1}(P)}\rho^2\sin(\varphi)d\rho d\theta d\varphi=

Per le formule di riduzione diventa

=\int_{0}^{1}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\left[\rho^2\sin(\varphi)\right]d\varphi d\theta d\rho=

Integriamo rispetto a \varphi. Si noti che \rho non dipende da questa variabile, per cui possiamo trasportarla fuori dall'integrale rispetto a \varphi

\\ =\int_{0}^{1}\int_{0}^{2\pi}\rho^2\left[-\cos(\varphi)\right]_{\varphi=0}^{\varphi=\frac{\pi}{4}}d\theta d\rho= \\ \\ \\ =\int_{0}^{1}\int_{0}^{2\pi}\rho^2\left[1-\frac{1}{\sqrt{2}}\right]d\theta d\rho=

Integriamo rispetto a \theta, trasportando fuori dal relativo integrale \rho^2\left[1-\frac{1}{\sqrt{2}}\right]

\\ =\int_{0}^{1}\rho^2\left[1-\frac{1}{\sqrt{2}}\right]\int_{0}^{2\pi}1 d\theta d\rho= \\ \\ \\ =\int_{0}^{1}\rho^2\left[1-\frac{1}{\sqrt{2}}\right]\cdot 2\pi d\rho=

Integriamo infine rispetto a \rho

\\ =2\pi\left[1-\frac{1}{\sqrt{2}}\right]\cdot\int_{0}^{1}\rho^2d\rho= \\ \\ \\ =2\pi\left[1-\frac{1}{\sqrt{2}}\right]\cdot\left[\frac{\rho^3}{3}\right]_{\rho=0}^{\rho=1}=\\ \\ \\ =2\pi\left[1-\frac{1}{\sqrt{2}}\right]\cdot\frac{1}{3}=\frac{2\pi}{3}\left[1-\frac{1}{\sqrt{2}}\right]

Il valore ottenuto rappresenta il volume richiesto. Abbiamo finito!
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, AntonioD, CarFaby
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Os