Calcolo integrale doppio in coordinate polari (dominio diverso da un rettangolo)

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Calcolo integrale doppio in coordinate polari (dominio diverso da un rettangolo) #36426

avt
AntonioD
Frattale
Ciao a tutti ragazzi!emt

Sono alle prese con i primi esercizi di analisi II, in particolare stavo studiando come risolvere gli integrali doppi tramite le coordinate polari.
Ma non so come procedere con questo esercizio:


Integrale doppio di [(xy)/(x^2 + y^2)]

dove D è il dominio espresso in coordinate polari da:
ro < θ, 0 < θ <3/2 π

Inoltre alla fine dell'esercizio c'è una nota:
Si noti che in queto caso il dominio espresso in coordinate polari non è un rettangolo; di conseguenza l'integrale doppio in polari diventa un effettivo integrale iterato e non semplicement il prodotto di due integrali



Mi potete dare una mano a capire come svolgerlo?

Vi ringrazio in anticipo emt
 
 

Re: Calcolo integrale doppio in coordinate polari (dominio diverso da un rettangolo) #36436

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao AntonioD emt

Abbiamo l'integrale:

iint_D (x y)/(x^2+y^2)dx y

Passiamo alle coordinate polari:

x = ρcos(θ)

y = ρ sin(θ)

con ρ < θ e 0 < θ < (3)/(2)π

Lo Jacobiano della trasformazione associata è ρ.

La funzione integranda invece:

tildef(ρ,θ) = (ρ^2sin(θ)cos(θ))/(ρ^2) =

= sin(θ)cos(θ)

L'integrale diventa:

∫_(0)^((3)/(2)π)∫_(0)^(θ)ρ sin(θ)cos(θ)dρ dθ

Risolviamo l'integrale interno:

∫_(0)^(θ)ρ cos(θ)sin(θ)dρ =

= sin(θ)cos(θ)∫_(0)^(θ) ρ dρ =

= sin(θ)cos(θ)[(ρ^2)/(2)]_(0)^(θ) =

(θ^2)/(2)sin(θ)cos(θ) =

(θ^2)/(4) sin(2θ)


L'integrale quindi diventa:

∫_(0)^((3)/(2)π)(θ^2)/(4)sin(2θ)dθ

Per risolvere questo integrale procedi per parti scegliendo come fattore finito (da derivare) la potenza, e come fattore differenziale (da integrare ) il seno.

Il risultato dovrebbe essere:

∫_(0)^((3)/(2)π)(θ^2)/(4)sin(2θ)dθ = (9π^2-4)/(32)

(fatto al PC)
Ringraziano: Omega, Pi Greco, AntonioD, CarFaby
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Os