Calcolo dei massimi e minimi in tre variabili

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Calcolo dei massimi e minimi in tre variabili #34474

avt
letizia90
Punto
Ciao a tutti! Mi aiutate a svolgere quest'esercizio? Devo trovare i punti di max e di min della seguente funzione in tre variabili

f(x,y,z) = log|x|+log|y|+log|z|

sull'insieme:

E = (x,y,z)|1 ≤ |x|,|y|,|z| ≤ 2

Grazie 1000 emt
 
 

Calcolo dei massimi e minimi in tre variabili #34478

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao letizia emt

Per caso il dominio è:

E = (x,y,z): 1 ≤ |x|,|y|, |z| ≤ 2

?

C'è l'uguale? Fammi sapere emt
Ringraziano: Omega, CarFaby

Calcolo dei massimi e minimi in tre variabili #34480

avt
letizia90
Punto
Si emt purtroppo ho provato ad usare la scrittura LaTex per scrivere il simbolo di "minore o uguale" ma questa volta, non so perchè, non ci sono riuscita emt

Calcolo dei massimi e minimi in tre variabili #34481

avt
Ifrit
Amministratore
Ok! Nessun problema, provvederò a modificare io stesso il messaggio.
Utilizzeremo dei trucchetti algebrici.


f(x,y,z) = ln|x|+ln|y|+ln|z|

Per la proprietà dei logaritmi possiamo scrivere:

ln|x|+ln|y|+ln|z| = ln(|x||y||z|)

Ricorda ora che la funzione logaritmo è monotona crescente, quindi se riusciamo a determinare il massimo e il minimo della funzione argomento che chiamo rispettivamente M, m allora il massimo e minimo della funzione f sono rispettivamente ln(M) e ln(m).

In questo caso la funzione argomento è h(x,y,z) = |x||y||z|

Ora noi sappiamo che:

1 ≤ |x| ≤ 2

1 ≤ |y| ≤ 2

1 ≤ |z| ≤ 2

di conseguenza:

1·1·1 ≤ |x||y||z| ≤ 2·2·2

Cioè:


1 ≤ |x||y||z| ≤ 8

Applicando membro a membro il logaritmo naturale, abbiamo:

ln(1) ≤ ln(|x||y||z|) ≤ ln(8)

Da cui

0 ≤ ln(|x||y||z|) ≤ ln(8)

Il minimo della funzione di partenza è 0 ed è raggiunto quando |x|=|y|=|z|=1

mentre il massimo è ln(8) raggiunto quando |x| = |y| = |z| = 2

Se hai dubbi sono qui emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, letizia90, CarFaby

Calcolo dei massimi e minimi in tre variabili #34490

avt
letizia90
Punto
Benissimo!! Grazie davvero, adesso ho capito! emt ...per fortuna che ci siete voi! emt
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Os