Integrale doppio da calcolare su una corona circolare

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Integrale doppio da calcolare su una corona circolare #32800

avt
DevilWorrins
Cerchio
Salve ragazzi, ho problemi con un integrale doppio da calcolare su una corona circolare:

∫∫(x^2+y^2-y+1)dxdy

dove il dominio e la corona circolare di raggio 2 e 3 centrato in (1,2)

Come devo procedere?

Io ho fatto cosi

(x-1)^2+(y-2)^2 < 4 ; (x-1)^2+(y-2)^2 < 9

Poi ho effettuato il cambio di variabili

(x-1) = u ; (y-2) = v

a questo punto:

x = u+1 ; y = v+2

Lo jacobiano del cambiamento di coordinate è uguale ad 1, Ma adesso il dominio come lo parametrizzo con le coordinate polari?

Grazie mille
 
 

Integrale doppio da calcolare su una corona circolare #32803

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao Devilworrins

C'è qualcosa che non va nella riscrittura del dominio di integrazione, che è piuttosto

D = (x,y)∈R : 4 < (x-1)^2+(y-2)^2 < 9

cioè la regione data dalla corona circolare compresa tra le due circonferenze, la cui rappresentazione è:

coronacircolaretraslata

Una volta effettuata la traslazione, la funzione integranda diventa:

f(u, v) = 4+2u+u^2+3 v+v^2

Mentre il dominio si trasforma in:

D = (u,v)∈R : 4 < u^2+v^2 < 9

che viene rappresentato in questo modo:

coronacircolare

A questo punto conviene passare alle coordinate polari, ponendo:

u = rcos(t) ; v = rsin(t)

con r∈ (2,3), t∈ [0,2π).

In questo modo il dominio di integrazione si riscrive come

D''= (r,t) : 2 < r < 3, 0 < t < 2π

]Lo Jacobiano associato alla trasformazione in coordinate polari è r, quindi l'integrale diventa:

∫_(2)^(3)∫_(0)^(2π)(4+r^2+2rcos(t)+3rsin(t))r dt dr = (105)/(2)π

l'integrale non è difficile da risolvere, se hai bisogno di una mano non esitare e chiedi. emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, CarFaby

Integrale doppio da calcolare su una corona circolare #32836

avt
DevilWorrins
Cerchio
Grazie mille, sempre gentilissimo!
Ringraziano: Ifrit
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Os