Equazione differenziale con seno e coseno al quadrato

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Equazione differenziale con seno e coseno al quadrato #32631

avt
Ven
Cerchio
Salve a tutti!!

Come dicevo ho dei problemi nella risoluzione di questa equazione differenziale con seno e coseno:

y'= 2sen^2(x+y)-cos^2(x+y)

y(0) = π/4

ho provato con il caro calcolatore automatico e esce questa "cosa"

[Edit - Mod] Immagine in sostituzione del testo [/Edit - Mod]

mi potete spiegare cos'è successo dalla 4° in poi?

Cioè da questo passaggio

v'-1 = 2sen^2(v)-cos^2(v)

in poi?

sono ore che cerco di capire da solo ma non ci riesco, ho bisogno di una mano da voi!

Grazie mille!
 
 

Re: Equazione differenziale con seno e coseno al quadrato #32637

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao Ven, purtroppo non si vede bene. Che ne pensi se la risolviamo a modo nostro? emt
Ringraziano: Omega

Re: Equazione differenziale con seno e coseno al quadrato #32651

avt
Ifrit
Amministratore
Ok, nessuna risposta :(

Io procedo lo stesso, abbiamo il problema di Cauchy:

y'= 2sin^2(x+y)-cos^2(x+y) ; y(0) = (π)/(4)

Poniamo:

z = x+y ⇒ z'= 1+y'⇒ y'= z'-1

La condizione iniziale diventa

z(0) = (π)/(4)

Il problema si riscrive quindi come:


z'-1 = 2sin^2(z)-cos^2(z) ; z(0) = (π)/(4)


Da cui


z'= 2sin^2(z)-cos^2(z)+1 ; z(0) = (π)/(4)

Ricordando che

cos^2(z) = 1-sin^2(z)

si ha che:

2sin^2(z)-1+sin^2(z)+1 = 3sin^2(z)

Il problema di Cauchy diventa quindi:


z'= 3sin^2(z) ; z(0) = (π)/(4)


L'equazione differenziale si presenta nella forma:

z'= a(x)b(z)

cioè è a variabili separabili, dove:

a(x) = 3 che è una funzione continua in R

e

b(z) = 3sin(z) che è una funzione continua e derivabile con derivata continua e limitata. Vale quindi il teorema di esistenza e unicità locale.

Troviamo le soluzioni stazionarie:

b(z) = 0 ⇔ 3sin(z) = 0 ⇔ z(x) = k π k∈Z

Supponiamo b(z) ne 0 ⇔ z ne kπ k∈ Z

La nostra z varierà in uno degli intervalli del tipo

((k-1)π, kπ)

Poiché (π)/(4)∈ (0, π), questo sarà l'intervallo in cui studiare il problema di cauchy. Separiamo le variabili


∫ (1)/(sin^2(z))dx = ∫ 3 dx

da cui:

-cot(z) = 3x+c

Imponiamo la condizione iniziale:

-1 = c

da cui:


-cot(z) = 3x-1

quindi:

cot(z) = 1-3x

Quindi

z = arccot(1-3x)

Poiché 0 < z < π dobbiamo richiedere che anche:

0 < arccot(1-3x) < π ⇔ 1-3x > 0 ⇔ x < (1)/(3)

La nostra z è in realtà x+y sostituiamo:

x+y = arccot(1-3x) ⇒ y = -x+arccot(1-3x) x < (1)/(3)

Se hai dubbi emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ven, dsfmath, Feleppa

Re: Equazione differenziale con seno e coseno al quadrato #32657

avt
Ven
Cerchio
Ifrit ha scritto:
Ok, nessuna risposta :(


Si, scusa ho avuto un imprevisto!

Ifrit ha scritto:

Imponiamo la condizione iniziale:

-1 = c


scusami quale condizione iniziale? non ho capito molto bene questo passaggio per trovare la c... da quello che sapevo, la c non si dovrebbe trovare alla fine? sbaglio?

per il resto ci sono!

grazie mille e scusa per l'attesa!

Re: Equazione differenziale con seno e coseno al quadrato #32661

avt
Ifrit
Amministratore
No, dai non preoccuparti emt La costante c la puoi trovare anche prima della fine. Personalmente preferisco farlo un po' prima emt


La condizione iniziale che ho imposto è:

z(0) = (π)/(4)

nota infatti che:

-cot(z(0)) = -cot((π)/(4)) = -1

Dunque grazie alle condizioni iniziali abbiamo:

-1 = 0+c ⇒ c = -1
Ringraziano: Omega, Ven

Re: Equazione differenziale con seno e coseno al quadrato #32662

avt
Ven
Cerchio
Grazie! penso di aver capito! provo a rifarlo da solo!

Re: Equazione differenziale con seno e coseno al quadrato #32666

avt
Ven
Cerchio
ok, con questo ci stò alla grande!
Adesso non riesco a capire quello che ha fatto wolfram che è identico in tutto e per tutto quello che hai fatto tu, tranne per qlcuni passaggi che, appunto, non capisco... te li scrivo di seguito:

z'-1 = 2sin^2(z)-cos^2(z)

e fino a qui non ci piove!

z'-1 = (1)/(2) (-3cos(2z)+1)

z'= -(3)/(2) (-3cos(2z)-1)

z'= 3sin^2(z)

O.o ecco fino a questo passaggio non ho capito che &$%/£ ha fatto..

poi divide entrambi i membri per -sin^2(z)

poi ci si ritrova questo integrale

∫-csc^2(z)dx = ∫-3()dx

per portare

cot(z) = -3x+c

ecc ecc

lfrit riesci a capirlo tu??


[Mod]Eliminata parola poco elegante, evitiamole in futuro, grazie [/Mod] emt
Ringraziano: Omega

Re: Equazione differenziale con seno e coseno al quadrato #32673

avt
Ifrit
Amministratore
Ven ha scritto:
ok, con questo ci stò alla grande!
Adesso non riesco a capire quello che ha fatto wolfram che è identico in tutto e per tutto quello che hai fatto tu, tranne per qlcuni passaggi che, appunto, non capisco... te li scrivo di seguito:

z'-1 = 2sin^2(z)-cos^2(z)

e fino a qui non ci piove!

z'-1 = (1)/(2) (-3cos(2z)+1)



qui ha scritto:

sin^2(z) = (1-cos(2z))/(2)

cos^2(z) = (1+cos(2z))/(2)

che derivano dalle formule di bisezione. Di conseguenza:

2sin^2(z)-cos^2(z) = (1-cos(2z))-(1+cos(2z))/(2) = (1)/(2)-(3)/(2)cos(2z)

Di conseguenza:

z'= (1)/(2)-(3)/(2)cos(2z)+1 = (3)/(2)(1-cos(2z)) =

3·(1-cos(2z))/(2)

infine utilizza nuovamente le formule di duplicazione:

z'= 3sin^2(z)

Il ragionamento fatto da wolfram è astruso e ridondante emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ven

Re: Equazione differenziale con seno e coseno al quadrato #32675

avt
Ven
Cerchio
CONCORDO! m'ha fatto perde un pomeriggio...
Grazie mille per il tuo tempo!

Alla prossima!!
Ringraziano: Ifrit
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Os