Grafico delle soluzioni di un'equazione differenziale

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Grafico delle soluzioni di un'equazione differenziale #32431

avt
DeDu2000
Punto
Ciao, come si risolve questo esercizio sul grafico delle soluzioni di un'equazione differenziale? Avrei bisogno di una spiegazione dei vari passaggi possibilmente emt

Disegnare approssimativamente i grafici delle soluzioni dell'equazione differenziale

y'= (y^2 -4y +3)^3

e individuare la soluzione tale che y(0)=1.

Non sono riuscito a trovare un esercizio simile da nessuna parte.
Grazie per la disponibilità!
 
 

Grafico delle soluzioni di un'equazione differenziale #32479

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao Dedu2000 :9

Probabilmente devi procedere utilizzando lo studio qualitativo delle equazioni differenziali.

Per prima cosa osserviamo che l'equazione differenziale è a variabili separabili, quindi della forma:

y'= a(x) b(y)

dove

a(x)=1 è una funzione continua in tutto l'asse reale

mentre

b(y)=(y^2-4y+3)^3 è una funzione continua e derivabile con derivata continua in tutto l'asse reale.

Vale quindi il teorema di esistenza e unicità locale al variare delle condizioni iniziali (x_0, y_0).

Per prima cosa determiniamo le soluzioni stazionarie, che si ottengono uguagliando a zero la funzione b(y)

b(y)=0\iff (y^2-4y+3)^3=0\iff

\iff y=1\vee y=3

Abbiamo quindi due soluzioni costanti definite su tutto l'asse reale:

y(x)=1

y(x)=3

entrambe definite per ogni x reale.

Da notare che la funzione b(y) non è sublineare quindi non possiamo utilizzare il teorema di esistenza globale.

Studiamo il segno della derivata prima, così da avere gli intervalli di monotonia della funzione:

y'>0\iff (y^2-4 y+3)^3>0\iff y<1\vee y>3

Pertanto possiamo trarre le prime considerazioni. La famiglia di soluzioni y(x) che stanno sopra la retta y(x)=3 sono strettamente crescenti. Stessa cosa vale per la famiglia di funzioni soluzione che vivono al di sotto della retta y(x)=1

Tutte le funzioni soluzione comprese tra le rette di equazione y=1 e y=3 sono invece strettamente decrescenti.

Dobbiamo studiare quindi tre famiglie di funzioni.

F_1=\left\{y(x): 1<y(x)<3\right\}

F_2=\left\{y(x): y(x)<1\right\}

F_3=\left\{y(x): y(x)>3\right\}

Cominciamo con la famiglia F_1

Abbiamo che y(x)\in F_1 è una funzione decrescente e limitata, dunque esistono finiti i limiti:

\lim_{x\to \pm\infty}y(x)

In particolare andremo a dimostrare che

\lim_{x\to +\infty}y(x)= 1

\lim_{x\to -\infty}y(x)= 3

Cominciamo con il primo. Supponiamo che:

\lim_{x\to +\infty}y(x)= \ell_1>1

Allora:

\lim_{x\to +\infty}y'(x)= \lim_{x\to +\infty}(y^2(x)-4y(x)+3)^3=

=\lim_{x\to \infty}y'(x)= (\ell_1^2-4 \ell_1+3)^3<0

di conseguenza la funzione y dovrebbe decrescere a - infinito, ma questo è impossibile, dunque

\lim_{x\to +\infty}y(x)= 1

Procedendo con un ragionamento simile per l'altro limite otterrai che:

\lim_{x\to -\infty}y(x)=3

Le soluzioni costanti rappresentano quindi gli asintoti obliqui per la funzione.

Procedi allo stesso modo per le altre famiglie.

Adesso studiamo la derivata seconda della funzione:

y''(x)=\frac{d}{dx}y'(x)= 3(3-4y(x)+y(x)^2)^2\cdot y'(x)\cdot (-4+2y(x))

Ricordando che:

y'(x)= (y^2(x)-4y(x)+3)^3

sostituendo nella derivata seconda otterremo:

y''(x)= 6(y(x)-2)(y(x)^2-4y(x)+3)^5

Studiamo gli zeri della derivata seconda:

y''(x)=0\iff y=2\vee y=1\vee y=3

Come abbiamo detto y=1 e y=3 sono le soluzioni costanti, la retta y=2 si candida come retta contenente tutti i punti di flesso.

Studiamo il segno della derivata seconda.

y''(x)>0\iff y>3 \vee 1<y<2

mentre

y''(x)<0\iff 2<y<3\vee y<1

Dunque le funzioni soluzione che stanno sopra la retta y=3 sono convesse

Le soluzioni che stanno sotto la retta di equazione y=1 sono concave, infine, se una funzione appartiene a F_1 allora è concava quando

2<y(x)<3

mentre è convessa quando

1<y(x)<2

Questo a confermare che tutti i punti che stanno sulla retta di equazione y=2 sono di flesso.


Nel grafico che segue vengono riportati i possibili casi che si possono presentare.

equazionedifferenziale


Da notare infine che l'unica funzione passante per il punto y(0)=1 è la funzione identicamente uguale ad uno emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, CarFaby

Grafico delle soluzioni di un'equazione differenziale #32507

avt
DeDu2000
Punto
Grazie vecchio, sei un duro!! Ma chi sei?? Ne sai a pacchi! emt

Grafico delle soluzioni di un'equazione differenziale #32517

avt
Ifrit
Amministratore
DeDu2000 ha scritto:
Grazie vecchio, sei un duro!! Ma chi sei?? Ne sai a pacchi! emt


Hai fatto la mia giornata con questo messaggio! emt emt Io ne so a pacchi? Non credo proprio. E' molto strano che ti diano un esercizio del genere senza che ti abbiano spiegato lo studio qualitativo delle equazioni differenziali. Mi è venuto un dubbio, non è che per caso dovevo risolverla normalmente? :]
Ringraziano: Omega, Pi Greco, CarFaby

Grafico delle soluzioni di un'equazione differenziale #32522

avt
DeDu2000
Punto
Credo che infatti me le abbiano anche spiegate, ma non ero mentalmente presente... emt
In che senso risolverla in modo normale? emt

Grafico delle soluzioni di un'equazione differenziale #32526

avt
Ifrit
Amministratore
No, niente, mi rimangio tutto, non è possibile determinare esplicitamente la soluzione. Avevo intenzione di risolverla utilizzando il metodo della separazione delle variabili, ma mi sono accorto che i conti che ne scaturiscono sono fuori dalla portata degli esseri umani, ho lasciato perdere emt emt emt
Ringraziano: Omega, CarFaby
  • Pagina:
  • 1
Os