Problema di Cauchy ed equazioni differenziali

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Problema di Cauchy ed equazioni differenziali #31815

avt
Godric
Cerchio
Avrei bisogno del vostro aiuto per risolvere un problema di Cauchy in cui figura un'equazione differenziale a variabili separabili. L'esercizio chiede inoltre di trovare l'intervallo massimale della soluzione.

Risolvere il seguente problema di Cauchy

\begin{cases}y'(x)=y(x)\cos(x)\\ \\ y\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)=-1\end{cases}

ed esplicitare l'intervallo massimale dell'eventuale soluzione.

Grazie.
 
 

Problema di Cauchy ed equazioni differenziali #31818

avt
Ifrit
Amministratore
Il nostro obiettivo consiste nel calcolare l'eventuale soluzione del problema di Cauchy

\begin{cases}y'(x)=y(x)\cos(x)\\ \\ y\left(-\frac{\pi}{4}\right)=-1\end{cases}

e di determinare l'intervallo massimale su cui è definita la soluzione.


Analisi dell'equazione differenziale

Iniziamo dalla classificazione dell'equazione differenziale che figura nel sistema:

y'(x)=y(x)\cos(x)

Essa è un'equazione differenziale a variabili separabili, infatti si presenta nella forma

y'(x)=a(x)b(y(t))

dove:

\bullet \ \ \ a(x)=\cos(x) è una funzione continua in I=\mathbb{R};

\bullet \ \ \ b(y)=y è una funzione derivabile con derivata continua in J=\mathbb{R}.

Le ipotesi del teorema di esistenza e di unicità locale sono soddisfatte, pertanto per ogni (x_0,y_0)\in I\times J il problema di Cauchy

\begin{cases}y'(x)=y(x)\cos(x)\\ y(x_0)=y_0\end{cases}

ammette localmente un'unica soluzione.

Dopo aver esaminato l'esistenza e l'unicità locale, occupiamoci dell'equazione differenziale

y'(x)=y(x)\cos(x)

e determiniamone le soluzioni stazionarie (o per meglio dire le soluzioni costanti): se \bar{y}\in\mathbb{R} è soluzione dell'equazione b(y)=0 allora è una soluzione stazionaria dell'equazione differenziale. Troviamo quindi gli zeri di b(y):

b(y)=0 \ \ \ \iff \ \ \ y=0

e concludiamo che y(x)=0 rappresenta la soluzione stazionaria dell'equazione differenziale.

Osserviamo inoltre che, proprio perché siamo in regime di unicità locale, il grafico di ogni altra soluzione non può intersecare quello di y(x)=0: ciò si traduce nel fatto che le altre soluzioni dell'equazione differenziale devono necessariamente soddisfare una e una sola delle seguenti condizioni

\mbox{o}\ \ \ y(x)<0 \ \ \ \mbox{oppure} \ \ y(x)>0

per ogni x appartenente al loro intervallo massimale.

Come si fa a capire quale delle due condizioni scegliere? Dipende dalla condizione iniziale del problema. In questo caso:

y\left(-\frac{\pi}{4}\right)=-1<0

di conseguenza la soluzione del problema di Cauchy dovrà rispettare il vincolo y(x)<0.

Determiniamola affidandoci al metodo risolutivo: se y(x)\ne 0, consideriamo l'uguaglianza:

\int_{x_0}^{x}\frac{y'(t)}{b(y(t))}dt=\int_{x_0}^{x}a(t)dt

ossia

\int_{-\frac{\pi}{4}}^{x}\frac{y'(t)}{y(t)}dt=\int_{-\frac{\pi}{4}}^{x}\cos(t)dt

e risolviamo separatamente gli integrali partendo da quello del membro di sinistra.

\int_{-\frac{\pi}{4}}^{x}\frac{y'(t)}{y(t)}dt

Operiamo la sostituzione

s=y(t) \ \ \ \to \ \ \ ds=y'(t)dt

e sostituiamo coerentemente gli estremi di integrazione.

A x_0=-\frac{\pi}{4} associamo s_0=y\left(-\frac{\pi}{4}\right)=-1;

A x_1=x associamo s_1=y(x).

Operate le sostituzioni l'integrale

\int_{-\frac{\pi}{4}}^{x}\frac{y'(t)}{y(t)}dt=

diventa

\\ =\int_{-1}^{y(x)}\frac{ds}{s}=\ln(|y(x)|)-\ln(|-1|)= \\ \\ \\ =\ln(|y(x)|)=

Poiché y(x)<0, in accordo con la definizione di valore assoluto, |y(x)|=-y(x) pertanto:

=\ln(-y(x))

Per quanto concerne

\int_{-\frac{\pi}{4}}^{x}\cos(t)dt

è praticamente un integrale immediato: basta ricordare che l'integrale del coseno di x è uguale al seno di x a meno di costanti additive:

=\left[\sin(t)\right]_{t=-\frac{\pi}{4}}^{t=x}=\sin(x)+\frac{1}{\sqrt{2}}

Calcolati gli integrali, possiamo esplicitare l'uguaglianza

\int_{-\frac{\pi}{4}}^{x}\frac{y'(t)}{y(t)}dt=\int_{-\frac{\pi}{4}}^{x}\cos(t)dt

che si traduce nella relazione

\ln(-y(x))=\sin(x)+\frac{1}{\sqrt{2}}

Sbarazziamoci del logaritmo applicando ai due membri la funzione esponenziale

-y(x)=e^{\sin(x)+\tfrac{1}{\sqrt{2}}}

dopodiché cambiamo i segni membro a membro

y(x)=-e^{\sin(x)+\tfrac{1}{\sqrt{2}}}

Si noti che per ogni x\in\mathbb{R}, la soluzione rispetta il vincolo y(x)<0, per cui possiamo concludere che l'intervallo massimale della soluzione è:

I_{\mbox{max}}=\mathbb{R}

Abbiamo finito.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, CarFaby, julissa

Re: Problema di Cauchy ed equazioni differenziali #32128

avt
Godric
Cerchio
Tutto chiaro, grazie mille!
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Os