Intervallo massimale delle soluzioni, equazione differenziale

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Intervallo massimale delle soluzioni, equazione differenziale #30635

avt
TommyR22
Cerchio
Non riesco proprio a capire come determinare l'intervallo massimale su cui è definita la soluzione di un problema di Cauchy. Potreste darmi una mano?

Trovare l'eventuale soluzione del problema di Cauchy

\begin{cases}y'=\dfrac{y^2}{x-1}\\ \\ y(0)=1\end{cases}

e determinare l'intervallo massimale di definizione.

Grazie.
 
 

Intervallo massimale delle soluzioni, equazione differenziale #30652

avt
Ifrit
Amministratore
Consideriamo il problema di Cauchy

\begin{cases}y'=\dfrac{y^2}{x-1}\\ \\ y(0)=1\end{cases}

L'esercizio ci chiede di ricavare l'eventuale soluzione e il relativo intervallo massimale di esistenza.


Studio dell'equazione differenziale

Per prima cosa esaminiamo l'equazione differenziale che figura nel sistema:

y'=\frac{y^2}{x-1}

Essa è un'equazione differenziale a variabili separabili, infatti si presenta nella forma

y'=a(x)b(y)

dove

\bullet \ \ \ a(x)=\frac{1}{x-1} è una funzione continua nell'insieme \mathbb{R}-\{1\};

\bullet \ \ \ b(y)=y^2 è una funzione derivabile con derivata continua su \mathbb{R}.

Sotto queste ipotesi, il teorema di esistenza e unicità locale garantisce che, indipendentemente dalla condizione iniziale (x_0,y_0) con x_0\ne 1, il problema di Cauchy

\begin{cases}y'=\dfrac{y^2}{x-1}\\ \\ y(x_0)=y_0\end{cases}

ammette un'unica soluzione locale.


Soluzioni stazionarie dell'equazioni differenziali

Determiniamo le soluzioni costanti, ossia del tipo y(x)=\overline{y}, dove \overline{y} è il numero reale che soddisfa l'equazione b(\overline{y})=0, vale a dire:

b(\overline{y})=0 \ \ \ \to \ \ \ \overline{y}^2=0 \ \ \ \to \ \ \ \overline{y}=0

per cui y(x)=0 è la soluzione costante dell'equazione differenziale, ma non per il problema di Cauchy, giacché non realizza la condizione iniziale.


Soluzioni non costanti

Sottolineiamo che a(x) è definita nell'unione di intervalli (-\infty,1)\cup (1,+\infty) mentre b(y) è diversa da zero in (-\infty,0)\cup (0,+\infty).

Poiché

x_0=0\in I=(-\infty,1)\ \ \ \mbox{e} \ \ \ y_{0}=1\in J=(0,+\infty)

e poiché è soddisfatto il teorema di esistenza e unicità locale, il problema di Cauchy ammette un'unica soluzione il cui grafico è contenuto nell'insieme I\times J.

Nota importante: la condizione x\in I vincola la variabile a essere minore di 1, mentre y\in J vincola y a essere maggiore di 0.

Per y\ne 0, possiamo dividere i due membri dell'equazione differenziale per y^2

\frac{y'}{y^2}=\frac{1}{x-1}

A questo punto integriamo membro a membro rispetto a x

\int\frac{y'}{y^2}dx=\int\frac{1}{x-1}dx

L'integrale di sinistra si risolve velocemente usando la sostituzione

z=y(x) \ \ \ \to \ \ \ dz=y'(x)dx

grazie alla quale

\int\frac{y'}{y^2}dx=

diventa

=\int\frac{dz}{z^2}=

Per calcolarlo usiamo la definizione di potenza con esponente negativo cosicché \frac{1}{z^2} sia espresso nella forma z^{-2}

=\int z^{-2}dz=

Integriamo la potenza e semplifichiamo il risultato.

=\frac{z^{-2+1}}{-2+1}+c_1=\\ \\ \\ =-z^{-1}+c_1=\\ \\ =-\frac{1}{z}+c_1=

Ritorniamo nella variabile y ricordando che z è uguale a y(x)

-\frac{1}{y(x)}+c_1

Per quanto concerne

\int\frac{1}{x-1}dx=

è un'integrale immediato, infatti il numeratore è la derivata del denominatore, per cui il risultato è un logaritmo:

=\ln(|x-1|)+c_2

La relazione

\int\frac{y'}{y^2}dx=\int\frac{1}{x-1}dx

si tramuta nell'equazione

-\frac{1}{y(x)}+c_1=\ln(|x-1|)+c_2

Trasportiamo c_1 al secondo membro e poniamo c=c_2-c_1

-\frac{1}{y(x)}=\ln(|x-1|)+c

Imponiamo la condizione iniziale y(0)=1 così da ricavare il valore della costante additiva c:

\\ -\frac{1}{y(0)}=\ln(|0-1|)+c \\ \\ \\ -1=c

e sostituiamo in

-\frac{1}{y(x)}=\ln(|x-1|)+c

ottenendo

-\frac{1}{y(x)}=\ln(|x-1|)-1

Il nostro obiettivo è quello di isolare y(x) al primo membro, ecco perché cambiamo segno a destra e a sinistra dell'uguaglianza

\frac{1}{y(x)}=1-\ln(|x-1|)

dopodiché passiamo ai reciproci membro a membro.

y(x)=\frac{1}{1-\ln(|x-1|)}

Poiché x\in I\ \mbox{e} \ y\in J dobbiamo richiedere che x sia minore di 1 e y minore di 0.

Se x<1, allora x-1<0, di conseguenza dalla definizione di valore assoluto, l'espressione

y(x)=\frac{1}{1-\ln(|x-1|)}

diventa

y(x)=\frac{1}{1-\ln(1-x)} \ \ \ \mbox{con} \ x<1

Come se non bastasse, il primo membro è positivo per via del vincolo y>0, per cui dobbiamo richiedere che lo sia anche il secondo

y(x)>0 \ \ \ \to \ \ \ \frac{1}{1-\ln(1-x)}>0

Risolviamo la disequazione fratta analizzando separatamente il segno del numeratore e quello del denominatore

\\ N>0 \ : \ 1>0 \ \ \ \mbox{sempre verificata} \\ \\ D>0 \ : \ 1-\ln(1-x)>0 \ \ \ \to \ \ \ 1-e<x<1

L'insieme soluzione è quindi

x\in (1-e,1)

e rappresenta l'intervallo massimale di esistenza per la soluzione.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Danni, TommyR22, CarFaby, julissa, bufalo
  • Pagina:
  • 1
Os