Integrale doppio per sostituzione

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Integrale doppio per sostituzione #28942

avt
Alessia.30
Cerchio
Ragazzi, ho un problema con questo integrale doppio, che credo vada risolto per sostituzione emt

Si calcoli l'integrale doppio della segunte funzione:

f(x,y) = (x^(5))/(y^(2))

nell'insieme

A = x^(3) ≤ y ≤ 2x^(3) , x^(3)+2y ≥ 1 , x^(3)+y ≤ 1

Penso che si debba fare una qualche sostituzione, giusto? Ma quale? Purtroppo ho cominciato da poco gli integrali doppi e non ho ancora molta dimestichezza emt
Grazie in anticipo per la vostra disponibilità! emt
 
 

Integrale doppio per sostituzione #28967

avt
Omega
Amministratore
Ciao Alessia.30 emt

Volendo puoi sostituire X = x^3 e lasciare invariata la y, però onestamente non mi sembra affatto necessario procedere per sostituzione. Procederei, piuttosto, nel modo standard.

Tieni conto del fatto che le sostituzioni nell'integrazione in più variabili richiedono la conoscenza e il calcolo della matrice Jacobiana della trasformazione: ne hai già sentito parlare?

Integrale doppio per sostituzione #28990

avt
Alessia.30
Cerchio
Si si! So che una volta sostituite le nuove variabili devo moltiplicare per lo jacobiano...In realtà anch'io avevo pensato alla sotituzione che hai detto tu, ma neanche a me sembra il modo più adatto di procedere! Quindi scusa ancora il disturbo ma...mi risolveresti l'integrale? XD In qualsiasi modo, basta che entro nell'ottica di come si risolvono questi integrali emt La sostituzione era uno dei metodi che mi era venuto in mente, ma se esiste un altro modo, ti prego, illuminami emt emt

Integrale doppio per sostituzione #29180

avt
Omega
Amministratore
Come abbiamo detto, si può procedere sia nel modo standard sia per sostituzione. Calcoliamo l'integrale doppio per sostituzione, ho provato a risolverlo nel sistema di coordinate di partenza ma mi sono annoiato dopo un minuto netto, e quindi...emt

La sostituzione da utilizzare è la seguente

u = x^3 ; v = y

Procuriamoli le formule per la trasformazione inversa

x = u^((1)/(3)) ; y = v

Calcoliamo la matrice Jacobiana relativa al cambiamento di coordinate: dobbiamo calcolare le derivate parziali delle due funzioni x = x(u,v),y = y(u,v)

(partial x(u,v))/(partial u) = (1)/(3)u^(-(2)/(3))

(partial x(u,v))/(partial v) = 0

(partial y(u,v))/(partial u) = 0

(partial y(u,v))/(partial v) = 1

Calcoliamo lo Jacobiano, cioè il determinante della matrice Jacobiana, e prendiamone il modulo:

det(J(u,v)) = | (1)/(3)u^(-(2)/(3)) 0 ; 0 1 | = (1)/(3)u^(-(2)/(3))

Modulo:

|det(J(u,v))| = (1)/(3)|u^(-(2)/(3))|

Come si trasforma il dominio di integrazione nel nuovo sistema di coordinate (u,v)? Riscriviamo le condizioni nel nuovo riferimento

u ≤ v ≤ 2u, u+2v ≥ 1, u+v ≤ 1 •

Vediamo di capire come leggere le nuove condizioni nel riferimento delle variabili u,v. Interpretiamo il nuovo sistema come un piano cartesiano Ouv, leggendo u come ascissa e v come ordinata.

Le condizioni • coinvolgono 4 rette

v = u, v = 2u, v = -(u)/(2)-(1)/(2), v = 1-u

Disegnandole nel piano cartesiano e considerando la regione che racchiudono...

quadrilatero nel nuovo riferimento di variabili

...abbiamo a che fare con un quadrilatero.

Scriviamo il dominio in forma normale rispetto all'asse u, prendendo come estremi liberi le ascisse u dei punti di intersezione e come estremi dipendenti le espressioni di v dipendenti da u nelle equazioni delle 4 rette

tildeD = (1)/(5) ≤ u ≤ (1)/(3), (1-u)/(2) ≤ v ≤ 2u U

U (1)/(3) < u ≤ (1)/(2), u ≤ v ≤ 1-u


Non resta che riscrivere l'integrale nel nuovo riferimento: "prima" era

∫∫_(D)f(x,y)dxdy

ora sarà (occhio al modulo dello Jacobiano!)

∫∫_(tildeD) tildef(u,v)|J(u,v)|dudv

vale a dire (lo Jacobiano è positivo su tutto il dominio di integrazione, sicché il valore assoluto è superfluo)

∫∫_(tildeD)(u^((5)/(3)))/(v^2)(1)/(3)u^(-(2)/(3))dvdu = (1)/(3)∫∫_(tildeD)(u)/(v^2)dvdu

Non ti resta che spezzare l'integrale doppio nella somma di due integrali doppi, e procedere con i restanti calcoli, che sono molto semplici.

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Se vuoi vedere esercizi simili: esercizi sugli integrali doppi per sostituzione.
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit

Integrale doppio per sostituzione #29238

avt
Alessia.30
Cerchio
Non so come ringraziarti!!! Io avevo provato a fare questa sostituzione, ma mi ero bloccata al momento di separare le variabili, pensavo ci fosse una strada più facile XD invece dandomi il risultato mi hai spronato, e ce l'ho fatta emt emt Grazie mille davvero!!! emt
Ringraziano: Omega

Integrale doppio per sostituzione #29240

avt
Omega
Amministratore
Figurati, è un piacere! emt
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Os