Interpretazione geometrica del teorema del gradiente

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Interpretazione geometrica del teorema del gradiente #28724

avt
vsevolodovic
Punto
Avrei bisogno dell'enunciato e di una dimostrazione del teorema sul significato geometrico di gradiente per funzioni di n variabili.

Dovrebbe essere quel risultato che garantisce che il gradiente di una funzione in un punto individua la direzione e il verso di massima crescita.

Potreste aiutarmi?
Ringraziano: Wtfood
 
 

Interpretazione geometrica del teorema del gradiente #29054

avt
Omega
Amministratore
Il teorema sul significato geometrico del gradiente è un risultato dell'Analisi Matematica che assicura che il gradiente di una funzione in un punto è il vettore che individua la direzione e il verso lungo cui la funzione cresce più velocemente. In realtà è una diretta conseguenza del teorema sulla formula del gradiente, che lega il gradiente alla nozione di derivata direzionale.


Enunciato del teorema sull'interpretazione geometrica di gradiente

Siano A un insieme aperto non vuoto di \mathbb{R}^{n}, e \mathbf{a}=(a_1,a_2,...,a_n) un punto di A.

Se f:A\to\mathbb{R} è una funzione differenziabile in \mathbf{a}, allora per ogni versore \mathbf{v}\in\mathbb{R}^{n}, la derivata di f in \mathbf{a} lungo la direzione di \mathbf{v} è compresa tra -||\nabla f(\mathbf{a})|| e ||\nabla f(\mathbf{a})||

-||\nabla f(\mathbf{a})||\le\frac{\partial f}{\partial\mathbf{v}}(\mathbf{a})\le ||\nabla f(\mathbf{a})||\\ \\ \forall\mathbf{v}\in\mathbb{R}^n, \ ||\mathbf{v}||=1

Se inoltre \nabla f(\mathbf{a})\ne 0, la derivata di f lungo la direzione individuata dal versore \tilde{\mathbf{v}}=\frac{\nabla f(\mathbf{a})}{||\nabla f(\mathbf{a})||} è massima, ossia coincide con la norma del gradiente nel punto

\frac{\partial f}{\partial\tilde{\mathbf{v}}}(\mathbf{a})=||\nabla f(\mathbf{a})||



Dimostrazione del teorema sull'interpretazione geometrica di gradiente

Poiché per ipotesi f è differenziabile in \mathbf{a}, vale la formula del gradiente: per ogni versore \mathbf{v}\in\mathbb{R}^{n}, la derivata di f in \mathbf{a} lungo la direzione di \mathbf{v} coincide con il prodotto scalare tra il gradiente di f valutato in \mathbf{a} e \mathbf{v}

\frac{\partial f}{\partial\mathbf{v}}(\mathbf{a})=\langle\nabla f(\mathbf{a}),\mathbf{v}\rangle

Applichiamo il valore assoluto ai due membri

\left|\frac{\partial f}{\partial\mathbf{v}}(\mathbf{a})\right|=\left|\langle\nabla f(\mathbf{a}),\mathbf{v}\rangle\right|\le

e sfruttiamo la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, la quale garantisce che il valore assoluto del prodotto scalare di due vettori è maggiorato dal prodotto delle loro norme

\le ||\nabla f(\mathbf{a})||\cdot ||\mathbf{v}||=

Poiché \mathbf{v} è un versore, la sua norma è pari a 1, per cui la precedente espressione diventa

=||\nabla f(\mathbf{a})||

Abbiamo perciò dimostrato che per ogni versore \mathbf{v} vale la maggiorazione

\left|\frac{\partial f}{\partial\mathbf{v}}(\mathbf{a})\right|\le ||\nabla f(\mathbf{a})||

o equivalentemente

\\ -||\nabla f(\mathbf{a})||\le\frac{\partial f}{\partial\mathbf{v}}(\mathbf{a})\le||\nabla f(\mathbf{a})|| \\ \\  \forall\mathbf{v}\in\mathbb{R}^{n} \ \mbox{t.c.}\ ||\mathbf{v}||=1

Dalla doppia disuguaglianza deduciamo che le derivate direzionali di una funzione differenziabile in un punto non possono mai essere maggiori del modulo del gradiente nel punto, né minore del suo opposto: di fatto -||\nabla f(\mathbf{a})|| è il minimo valore possibile, mentre ||\nabla f(\mathbf{a})|| il massimo.

Se \nabla f(\mathbf{a}) è diverso dal vettore nullo, possiamo considerare il versore associato

\tilde{\mathbf{v}}=\frac{\nabla f(\mathbf{a})}{||\nabla f(\mathbf{a})||}

e calcolare la derivata di f in \mathbf{a} lungo tale vettore.

In accordo con la formula del gradiente, scriviamo

\frac{\partial f}{\partial\tilde{\mathbf{v}}}(\mathbf{a})=\langle\nabla f(\mathbf{a}),\tilde{\mathbf{v}}\rangle=\left\langle\nabla f(\mathbf{a}),\frac{\nabla f(\mathbf{a})}{||\nabla f(\mathbf{a})||}\right\rangle=

Sfruttando la proprietà di omogeneità rispetto alla seconda componente del prodotto scalare, possiamo trasportare il numero reale \frac{1}{||\nabla f(\mathbf{a})||} fuori dal prodotto

=\frac{1}{||\nabla f(\mathbf{a})||}\langle\nabla f(\mathbf{a}),\nabla f(\mathbf{a})\rangle=(\bullet)

Dalla definizione di norma indotta dal prodotto scalare segue che

\langle\nabla f(\mathbf{a}),\nabla f(\mathbf{a})\rangle=||\nabla f(\mathbf{a})||^2

perciò l'espressione in (\bullet) diviene

(\bullet)=\frac{1}{||\nabla f(\mathbf{a})||}\cdot ||\nabla f(\mathbf{a})||^2=||\nabla f(\mathbf{a})||

Ciò dimostra che la derivata di f in \mathbf{a} lungo la direzione (e verso) individuata dal gradiente è massima.

Dal punto di vista geometrico vuol dire il gradiente individua direzione e verso lungo cui la funzione cresce più velocemente.

Usando i medesimi passaggi e le stesse giustificazioni, si verifica che la derivata di f in \mathbf{a} lungo -\tilde{\mathbf{v}} è minima e vale

\frac{\partial f}{\partial (-\tilde{\mathbf{v}})}(\mathbf{a})=-||\nabla f(\mathbf{a})||

Deduciamo perciò che l'opposto del gradiente in un punto individua la direzione e il verso lungo cui la funzione decresce più velocemente.
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, vsevolodovic, CarFaby, 3²+4²=5²

Re: Interpretazione geometrica del teorema del gradiente #29572

avt
vsevolodovic
Punto
Tutto molto chiaro! Grazie mille!
Ringraziano: Omega
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Os