Definizione di insieme connesso e semplicemente connesso

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Definizione di insieme connesso e semplicemente connesso #27663

avt
francy84
Frattale
Buon pomeriggio! Stavo cercando una definizione soddisfacente di INSIEME CONNESSO e di INSIEME SEMPLICEMENTE CONNESSO, ma girovagando su internet quelle che ho ottenuto non mi hanno soddisfatta, quindi ho pensato di rivolgermi a voi.

Sapreste darmi qualche informazione di carattere formale ma anche intuitivo per capire il concetto e le definizioni di insieme connesso e di insieme semplicemente connesso?

Grazie mille
Ringraziano: paperino
 
 

Re: Definizione di insieme connesso e semplicemente connesso #27705

avt
Omega
Amministratore
Per quanto riguarda la definizione, temo ahinoi che la cosa migliore sarebbe quella di fare riferimento ad un buon libro di testo. Questo perché non è possibile dare una definizione nuda e cruda di insieme connesso o insieme semplicemente connesso prescindendo dalle nozioni di spazio topologico, di spazio topologico connesso e così via.

Servono diversi prerequisiti, e alcuni devo darli necessariamente per scontati per poter rispondere.

Uno spazio topologico X si dice connesso se contiene solamente due insiemi aperti e disgiunti: l'insieme vuoto \emptyset e l'intero spazio X. Un insieme A di uno spazio topologico è invece un insieme connesso se A munito della topologia dello spazio X è uno spazio topologico connesso.
È possibile poi considerare le componenti connesse di un sottospazio, ovvero (intuitivamente) i più grandi sottoinsiemi connessi dello spazio che puoi considerare. Naturalmente uno spazio topologico connesso è costituito da una ed una sola componente connessa.

La definizione di spazio semplicemente connesso, invece, passa attraverso le definizioni di arco e di omotopia: uno spazio topologico X è semplicemente connesso se comunque presi due punti x,y\in X e comunque si consideri una coppia di archi che congiunge x,y esiste un'omotopia tra i due archi considerati.

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In termini intuitivi e molto rozzi, ragionando nel piano: uno spazio è semplicemente connesso se è costituito da un solo pezzo e non ha buchi; uno spazio è connesso se è costituito da un solo pezzo.

La precedente caratterizzazione non vale però nel caso tridimensionale.

Giusto per farti un esempio nello spazio tridimensionale.

\bullet\,\,\mathbb{R}^3\setminus\{\mathbf{0}\} è semplicemente connesso nonostante abbia un buco nell'origine.

\bullet\,\, Se allo spazio tridimensionale eliminiamo una retta qualsiasi, esso rimane connesso, ma non è più semplicemente connesso.

Ci sono poi diversi teoremi e risultati che permettono di concludere velocemente se un dato insieme è semplicemente connesso o meno - solo che a questo livello di analisi (un post) enunciarli tutti non ha senso e non è nemmeno utile. Molto dipende dal corso di studi e dal livello delle applicazioni che ti interessano. Potrei dirti che un insieme convesso in uno spazio euclideo è semplicemente connesso, e anche che un qualsiasi spazio contraibile è semplicemente connesso...
Ringraziano: Pi Greco, MaryADC90, Ifrit, francy84, CarFaby, miky91, laurarep94, simonevolo, 3²+4²=5², thomasman...

Re: Definizione di insieme connesso e semplicemente connesso #27741

avt
derp
Frattale
Grazie Omega, mi rifaccio al libro di testo comunque la tua spiegazione è molto chiara.
Ringraziano: Omega, paperino, Pier007
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Os