Integrale doppio con dominio una corona circolare

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Integrale doppio con dominio una corona circolare #27065

avt
pierino.1990
Cerchio
Buongiorno! Mi sto esercitando sugli integrali doppi con dominio una corona circolare, e non so come trattarlo...

Potete darmi una mano a calcolare l'integrale doppio?

∫_B (x^2(1+x^2y))dx dy

dove B è la corona circolare di centro l’origine e raggi 1 e 2.

Grazie in anticipo!
 
 

Integrale doppio con dominio una corona circolare #27068

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao pierino.1990,

l'insieme di integrazione è una corona circolare:

B = (x,y): 1 ≤ x^2+y^2 ≤ 4

la cui rappresentazione è:

coronacircolare

Procediamo con la sostituzione in coordinate polari:

x = rcos(t) ; y = rsin(t)

Sostituiamo nella doppia disequazione:

1 ≤ x^2+y^2 ≤ 4

e otteniamo:

1 ≤ r^2cos^2(t)+r^2sin^2(t) ≤ 4

Da cui, grazie alla relazione fondamentale della trigonometria (formule trigonometriche) otteniamo:

1 ≤ r^2 ≤ 4 ⇔ 1 ≤ r ≤ 2

La variabile t invece varia tra 0 e 2π.

L'integrale si riscrive quindi come:

∫_(0)^(2π)∫_(1)^(2)r^2cos^2(t)(1+r^2cos^2(t)rsin(t))rdrdt = (15π)/(4)

Ti invito a svolgere i passaggi dell'integrale. Sono abbastanza pallosi, ma è un buon allenamento.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, pierino.1990, CarFaby

Re: Integrale doppio con dominio una corona circolare #72093

avt
Sta_bile
Punto
Scusami Ifrit puoi dirmi come hai svolto quest'ultimo integrale?

Hai eseguito la moltiplicazione e poi spezzato l'integrale generale in somma di integrali?

Re: Integrale doppio con dominio una corona circolare #72107

avt
Omega
Amministratore
Ciao Sta_bile,

il nuovo corso, subentrato ormai da più di un anno, prevede che ogni richiesta sia accompagnata da un tentativo di risoluzione.

Mi limito ad un suggerimento: prima sviluppa i prodotti nell'integranda, poi integra rispetto a r. Si tratta di un calcolo molto semplice perché ti basta saper calcolare l'integrale di una potenza.

Fatto ciò, ti troverai di fronte all'integrale di una somma da calcolare in dθ.

Il primo addendo conterrà un cos^2(θ) e il calcolo di tale integrale è noto (integrale del coseno al quadrato),

Il secondo conterrà un prodotto: cos^4(θ)sin(θ). Anche in questo caso hai a che fare con l'integrale di una potenza, più precisamente l'integrale della potenza di una funzione moltiplicata per un fattore riconducibile alla derivata della base. In simboli

∫[f(x)]^nf'(x)dx = ([f(x)]^(n+1))/(n+1)+c

dove n = 4, f(x) = cos(x), f'(x) = -sin(x) (vedi tabella degli integrali fondamentali). Certo, dovrai sistemare il segno del secondo fattore raccogliendo un meno, nulla di drammatico...
Ringraziano: CarFaby, Sta_bile
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Os