Calcolo integrale doppio con coordinate ellittiche

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Calcolo integrale doppio con coordinate ellittiche #26974

avt
pierino.1990
Cerchio
Ciao a tutti! Devo calcolare il seguente integrale doppio con coordinate ellittiche:

Integrale doppio: iint_D xydxdy

dove l'insieme di integrazione è definito come

D = (x,y)∈R^2 : x^2+2y^2 < 1, x > 0, y > 0

Mi potete dare una mano, come faccio a passare alle coordinate ellittiche?

Grazie!
 
 

Calcolo integrale doppio con coordinate ellittiche #26978

avt
Omega
Amministratore
Ciao Pierino emt

Per le coordinate ellittiche: click!

Per quanto riguarda l'integrale proposto, il sistema di coordinate ellittiche che bisogna prendere in considerazione è

x = ρcos(θ) ; y = (1)/(√(2))ρsin(θ)

In questo modo l'elemento d'area diventa

dxdy → (1)/(√(2))ρ dρ dθ

il dominio di integrazione, invece, è

θ ∈ (0,(π)/(2)) ρ∈ [0,1]

L'integrale da calcolare è dunque

∫_(0)^((π)/(2))∫_(0)^(1)(1)/(2)ρ^3 cos(θ)sin(θ)dρ dθ
Ringraziano: Pi Greco, TeQuila.

Calcolo integrale doppio con coordinate ellittiche #26982

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao pierino.1990 emt

L'ellisse ha equazione canonica

(x^2)/(a^2)+(x^2)/(b^2) = 1

che viene parametrizzata come:

(a rcos(t), b r sin(t)) t∈ [0, 2π], r ≥ 0

ponendo quindi:

x = a r cos(t), , , y = b r sin(t)

Vediamo come procedere per risolvere l'integrale. Scriviamo l'equazione dell'ellisse in forma canonica:

x^2+2y^2 = 1 ⇔ x^2+(y^2)/((1)/(2)) = 1

da cui si evince che a = 1, b = √((1)/(2))

Rappresenta D:

D: = (x,y)∈R^2: x^2+2 y^2 < 1, x > 0, y > 0

ellisse_2012 07 05


Procediamo con la sostituzione:

x = r cos(t)

y = √((1)/(2))r sin(t)

Dalla relazione x^2+2y^2 < 1 otteniamo:

r^2cos^2(t)+r^2sin^2(t) < 1 ⇔ r^2 < 1

Da cui:

0 ≤ r < 1

Dal grafico inoltre si ha che:

t∈ [0, (π)/(2)]

lo Jacobiano associato alla trasformazione è:

√((1)/(2))r

L'integrale da risolvere diventa quindi:

∫_(0)^((π)/(2))∫_(0)^(1)rcos(t)·√((1)/(2)) rsin(t)·√((1)/(2))r dr dt =

∫_(0)^((π)/(2))∫_(0)^(1)(r^3)/(2)cos(t) sin(t) dr dt = (1)/(16)
Ringraziano: Omega, Pi Greco, pierino.1990, RicAluigi, TeQuila., cipriel

Calcolo integrale doppio con coordinate ellittiche #26988

avt
pierino.1990
Cerchio
Tutto chiaro, vi ringrazio!
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Os