Domanda a risposta multipla su problema di cauchy a variabili separabili

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Domanda a risposta multipla su problema di cauchy a variabili separabili #26839

avt
mina
Punto
Ciao ragazzi, mi potete aiutare a risolvere questa domanda a risposta multipla? Riguarda un problema di Cauchy con un'equazione differenziale a variabili separabili..

La soluzione massimale del problema di cauchy

y'=sin(x)/(y+5)

con condizione iniziale y(0)=1 si ha

1) ha minimo, ma non massimo.

2) ha massimo, ma non minimo.

3) è inferiormente limitata.

4) è monotona decrescente.

Grazie in anticipo emt
 
 

Domanda a risposta multipla su problema di cauchy a variabili separabili #26877

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao mina emt

Abbiamo il problema di Cauchy:

\begin{cases}y'=\frac{\sin(x)}{y+5}\\ y(0)=1\end{cases}

L'equazione differenziale che interviene è a variabili separabili. Nel caso particolare

a(x)=\sin(x) che ha dominio \mathbb{R}

mentre:

b(y)= \frac{1}{y+5} che ha dominio (-\infty, -5)\cup(-5,+\infty)

Poiché y(0)\in (-5, +\infty) allora la funzione y(x)\in(-5, +\infty)

Da qui abbiamo una prima informazione. La funzione è sicuramente inferiormente limitata.

Studiamo gli zeri della derivata prima dati da:

y'(x)=0\iff \sin(x)=0\iff x=k\pi\quad k\in\mathbb{Z}

Studiamo il segno della derivata prima.

Osserviamo che, poiché y\in (-5,\infty) allora il denominatore della derivata prima è sempre positiva, il segno della derivata prima dipende dalla funzione \sin(x)

Dallo studio del segno del seno, si evince che x=0 è un punto di minimo, mentre x= \pi è un punto di massimo.

Inoltre dallo studio del segno della derivata prima, scopriamo che la funzione soluzione non può essere monotona.

L'unica risposta accettabile è la 3)


Se hai dubbi, sai cosa fare emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, mina, AnimeLover93, CarFaby
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Os