Significato geometrico integrale curvilineo

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Significato geometrico integrale curvilineo #25894

avt
robe92
Cerchio
Salve e buongiorno ragazzi, potreste enunciarmi nel modo più intuitivo possibile il significato geometrico dell'integrale curvilineo di 1a specie?

∫_(γ)f mathrmds: = ∫_(a)^(b) f(γ(t))|γ'(t)| mathrmdt


Mi è chiaro quello dell'integrale di 2a specie, ovvero

∫_(γ)F· mathrmdr


che esprime il lavoro del campo F per far muovere una particella sul cammino γ

Qual è la differenza sostanziale tra i due?

Vi ringrazio
 
 

Re: Significato geometrico integrale curvilineo #26164

avt
Omega
Amministratore
Eccoci Robe92 emt

Nel caso dell'integrale curvilineo di seconda specie, tutto ok! emt

Nel caso di un integrale curvilineo di prima specie, invece, considera una curva parametrica γ:[a,b] → R^n, fissiamo un verso di percorrenza e consideriamo gli estremi del sostegno della curva

P = γ(a)

Q = γ(b)

Consideriamo poi una successione finita di punti del sostegno della curva P_i_(i = 1)^(N), presi lungo l'orientazione scelta per la curva, e tale che

P_1 = P,P_N = Q

A ciascuno di questi punti corrisponde un valore del parametro t; avremo quindi una corrispondente successione di valori reali t_i_(i = 1)^N ⊂ [a,b], con

P_(i) = γ(t_i) ∀ i = 1,...,N

Consideriamo la lunghezza di ciascuno dei segmenti γ_i, definito come il tratto di curva compreso tra i punti P_i,P_(i+1), e chiamiamola L_(γ_i).

Consideriamo poi la somma finita

Σ_(i = 1)^(N-1)f(P_i)L_(γ_i) = Σ_(i = 1)^(N-1)f(γ(t_i))|γ'(t_i)|(t_(i+1)-t_i)

dove abbiamo sostituito la lunghezza L_(γ_i) con la sua espressione discreta (non ho espresso questo concetto in modo rigoroso, non voglio andare fuori strada dal discorso che stiamo affrontando).

Ora: essendo la funzione f(γ(t)) continua, e passando al limite per N → +∞, otteniamo

∫_(a)^(b)f(γ(t))|γ'(t)|dt

Il significato geometrico dell'integrale improprio di prima specie è dunque il seguente: mettiamoci per semplicità nel caso di una curva piana, e consideriamo il sostegno della curva nel piano Oxy, chiamiamolo Γ.

Consideriamo poi l'immagine del sostegno della curva mediante la funzione f, ovvero f(Γ).

L'integrale curvilineo di prima specie

∫_(a)^(b)f(γ(t))|γ'(t)|dt

ha il significato geometrico di area della superficie compresa tra f(Γ) e il sostegno della curva Γ. emt
Ringraziano: LittleMar, Ven, robe92, Mimma, laurarep94, 3²+4²=5², Abiura, FlashNoob98

Re: Significato geometrico integrale curvilineo #26168

avt
robe92
Cerchio
ti ringrazio.. ma quindi, in spiccioli, a cosa ci serve l'integrale curvilineo di prima specie?

Re: Significato geometrico integrale curvilineo #26177

avt
Omega
Amministratore
In sintesi? Area di una superficie emt
Ringraziano: LittleMar, robe92, Abiura

Re: Significato geometrico integrale curvilineo #39223

avt
Ven
Cerchio
robe92 ha scritto:


Mi è chiaro quello dell'integrale di 2a specie, ovvero

∫_(γ)F· mathrmdr


che esprime il lavoro del campo F per far muovere una particella sul cammino γ


Vi ringrazio


Ciao a tutti, (forse sto per dire una cavolata...)
Quindi questo integrale, visto che serve per calcolare il lavoro, è uguale al seguente integrale:
∫_(γ)(< F,T >)ds

dove F è il campo vettoriale?

Re: Significato geometrico integrale curvilineo #39226

avt
Omega
Amministratore
Se con T indichi il versore tangente alla curva, non hai scritto una cavolata. emt
Ringraziano: Ven, FlashNoob98
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Os