Significato geometrico integrale curvilineo

Salve e buongiorno ragazzi, potreste enunciarmi nel modo più intuitivo possibile il significato geometrico dell'integrale curvilineo di 1^a specie?



Mi è chiaro quello dell'integrale di 2^a specie, ovvero



che esprime il lavoro del campo per far muovere una particella sul cammino

Qual è la differenza sostanziale tra i due?

Vi ringrazio

Eccoci Robe92

Nel caso dell'integrale curvilineo di seconda specie, tutto ok!

Nel caso di un integrale curvilineo di prima specie, invece, considera una curva parametrica , fissiamo un verso di percorrenza e consideriamo gli estremi del sostegno della curva





Consideriamo poi una successione finita di punti del sostegno della curva , presi lungo l'orientazione scelta per la curva, e tale che



A ciascuno di questi punti corrisponde un valore del parametro ; avremo quindi una corrispondente successione di valori reali , con



Consideriamo la lunghezza di ciascuno dei segmenti , definito come il tratto di curva compreso tra i punti , e chiamiamola .

Consideriamo poi la somma finita



dove abbiamo sostituito la lunghezza con la sua espressione discreta (non ho espresso questo concetto in modo rigoroso, non voglio andare fuori strada dal discorso che stiamo affrontando).

Ora: essendo la funzione continua, e passando al limite per , otteniamo



Il significato geometrico dell'integrale improprio di prima specie è dunque il seguente: mettiamoci per semplicità nel caso di una curva piana, e consideriamo il sostegno della curva nel piano , chiamiamolo .

Consideriamo poi l'immagine del sostegno della curva mediante la funzione , ovvero .

L'integrale curvilineo di prima specie



ha il significato geometrico di area della superficie compresa tra e il sostegno della curva .

ti ringrazio.. ma quindi, in spiccioli, a cosa ci serve l'integrale curvilineo di prima specie?

In sintesi? Area di una superficie

robe92 ha scritto:


Ciao a tutti, (forse sto per dire una cavolata...)
Quindi questo integrale, visto che serve per calcolare il lavoro, è uguale al seguente integrale:

dove F è il campo vettoriale?

Se con indichi il versore tangente alla curva, non hai scritto una cavolata.