Esercizi su massimi e minimi vincolati, funzione di due variabili

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Esercizi su massimi e minimi vincolati, funzione di due variabili #25335

avt
equilibrio
Cerchio
Questo per me è difficile, è un esercizio sui massimi e minimi vincolati con i moltiplicatori di Lagrange per una funzione di due variabili. Chiedo come per gli altri esercizi un aiuto che solo voi sapete darmi.

La funzione di due variabili è

z = x^2 y - 2

soggetta al vincolo: y - x^2 + 2x = 0


Procedo scrivendo la lagrangiana ed inizio in questo modo:

L=x^2y - 2 - \lambda (y - x^2 + 2x)

Poi faccio le derivate prime rispetto a x,\ y,\ \lambda e mi vengono:

L_x = 2xy - 2 \lambda x + 2

L_y = x^2 - 1

\lambda = y - x^2 + 2x

Poi pongo le derivate prime uguale a zero e mi vengono.

2xy - 2 \lambda x + 2 = 0

x^2 - 1 = 0

A questo punto non so come procedere e non so s fino a qui va bene.

Grazie in anticipo.
 
 

Esercizi su massimi e minimi vincolati, funzione di due variabili #25336

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao Equilibrio, il ragionamento che c'è dietro va bene, devi stare attento ai conti emt

Seguiamo il metodo dei moltiplicatori di Lagrange per massimi e minimi vincolati. Detta

L(x,y, \lambda)=x^2 y -2-\lambda (y-x^2+2x)

la funzione lagrangiana, calcoliamo le derivate parziali del primo ordine:

L_{x}(x,y, \lambda)=2 xy-(2-2x)\lambda

L_{y}(x, y, \lambda)= x^2-\lambda

L_{\lambda}(x,y, \lambda)= -2x+x^2-y

Impostiamo il sistema:

\begin{cases}L_{x}(x,y, \lambda)=0\\L_{y}(x,y, \lambda)=0 \\ L_{\lambda}(x,y,\lambda)=0\end{cases}

\begin{cases}2 xy-(2-2x)\lambda=0\\ x^2-\lambda=0\\ -2x+x^2-y=0\end{cases}

Dalla ultima equazione otteniamo:

y= x^2-2x

dalla seconda equazione otteniamo

\lambda=x^2

Sostituiamo nella prima equazione:

2x(x^2-2x)-(2-2x)x^2=0

Riducendo otteniamo:

2x^2(2x-3)=0\iff x=0\vee x=\frac{3}{2}

Ad x=0 associamo y=0 e \lambda=0

Otteniamo quindi la prima tripla (0,0,0)

Ad x=\frac{3}{2} associamo \lambda=\frac{9}{4}, y=-\frac{3}{4}

A questo punto:

f(0,0)=-2

mentre

f\left(\frac{3}{2},-\frac{3}{4}\right)=-\frac{59}{16}

confrontando i valori abbiamo che:

(0,0) è un punto di massimo mentre

\left(\frac{3}{2},-\frac{3}{4}\right) è un punto di minimo. emt
Ringraziano: Omega, LittleMar, CarFaby

Esercizi su massimi e minimi vincolati, funzione di due variabili #25348

avt
equilibrio
Cerchio
sicuramente è svolto alla perfezione l'esercizio.
A questo punto le cose che non ho capito e non so fare sono:

- calcolare le derivate prime (visto che se sbaglio quelle poi sbaglio tutto il procedimento);
- porre uguale a zero le derivate prime ed ottenere quindi i valori di x e y.

Grazie in anticipo.

Esercizi su massimi e minimi vincolati, funzione di due variabili #25380

avt
Ifrit
Amministratore
Per quanto riguarda le derivate parziali prime, devi solo stare attento ai conti e utilizzare le proprietà della derivata.

Per farti un esempio calcolo la derivata parziale del primo ordine rispetto ad x. Indico con D_x la derivata parziale rispetto ad x.

L_{x}(x,y, \lambda)= D_x[x^2 y - 2 -\lambda(y-x^2+2x)]=

D_{x}[x^2 y]- D_{x}[2]- D_x[\lambda(y-x^2+2x)]=

yD_{x}[x^2]- 0- \lambda D_{x}[(y-x^2+2x)]=

y\cdot 2x -\lambda (D_{x}[y]- D_{x}[x^2]+ 2D_{x}[x])=

2xy - \lambda (- 2x+2)

Procedi allo stesso modo con le derivate parziali rispetto y e \lambda
Ringraziano: Omega, CarFaby
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Os