Esercizio su massimi e minimi vincolati con Lagrange

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Esercizio su massimi e minimi vincolati con Lagrange #24817

avt
equilibrio
Cerchio
L'esercizio che riporto riguarda i massimi e i minimi vincolati da risolvere con il metodo di Lagrange, nel caso di una funzione di due variabili.

È uno dei dei 4 esercizi della prova di Matematica Generale 2 della Facoltà di Economia, che frequento al primo anno. Non sono riuscito a capire come risolverlo:

z= x^2 + y^2 avente vincolo 4x^2 + y^2 = 4

Vi ringrazio in anticipo.
Andrea.
 
 

Esercizio su massimi e minimi vincolati con Lagrange #24829

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao Equilibrio, iniziamo. Per tutti i dettagli sul metodo in generale ti rimando alla lettura della lezione sui massimi e minimi vincolati.

f(x,y)=x^2+y^2

Il vincolo è g(x,y)=0

dove

g(x,y)=4x^2+y^2-4

Costruiamo la funzione lagrangiana:

L(x,y, \lambda)=f(x,y)-\lambda g(x,y)=

= x^2+y^2- \lambda(4x^2+y^2-4)

Calcoliamo le derivate parziali prime rispetto di L rispetto ad x, y e \lambda.

L_{x}(x,y,\lambda)= 2x-8\lambda x

L_{y}(x,y, \lambda)= 2y-2\lambda y

L_{\lambda}(x,y, \lambda)= 4-4x^2-y^2

Impostiamo il sistema relativo all'annullamento del gradiente

\begin{cases}L_x(x,y, \lambda)=0\\ L_{y}(x,y, \lambda)=0\\L_{\lambda}(x,y, \lambda)=0\end{cases}

\begin{cases}2x-8\lambda x=0\\ 2y-2\lambda y=0\\4-4x^2-y^2=0\end{cases}

Risolvendo il sistema otteniamo:

A_1= (x_1, y_1,\lambda_1 )= \left(-1, 0, \frac{1}{4}\right)

A_2= (x_2, y_2,\lambda_2 )= \left(1, 0, \frac{1}{4}\right)

A_3= (x_3, y_3,\lambda_3 )= \left(0, -2, 1\right)

A_4= (x_4, y_4,\lambda_4 )= \left(0, 2, 1\right)

Per trovare il massimo e il minimo valore dobbiamo sostituire le coordinate x_i, y_i nella funzione f(x,y)

f(-1,0)=(-1)^2= 1

f(1,0)=1

f(0, -2)=4

f(0, 2)=4

Confrontando i valori abbiamo che

(-1,0), (1,0) sono punti di minimo

(0,-2), (0,2) sono punti di massimo.



Adesso procedo con un altro metodo secondo me più furbo.

Dall'equazione del vincolo scriviamo y^2 in funzione di x^2

y^2= 4-4x^2

Osserva che affinché l'equazione sia coerente dobbiamo richiedere che:

4-4x^2\ge 0\iff x^2\le 1\iff -1\le x\le 1

Sostituiamo ad y^2 della funzione f l'espressione 4-4x^2.

Otterremo una funzione nella sola variabile x:

h(x)=4-3x^2\quad -1\le x\le1

Nota che [-1,1] è un intervallo chiuso e limitato, la funzione è continua quindi avremo sicuramente massimo e minimo assoluti (teorema di Weierstrass).

Applichiamo il metodo per massimi e minimi in una variabile. Calcoliamo la derivata prima nell'intervallo -1<x<1

h'(x)= -6x

Essa si annulla se e solo se:

x=0

Studiamo il segno della derivata prima:

h'(x)>0\iff -6x>0\iff -1<x<0

Dunque la derivata prima è positiva in (-1,0) e negativa in (0,1).

La funzione h è quindi crescente in (-1,0) e decrescente in (0,1).

Da qui segue che x=0 è un punto di massimo per la funzione h. In corrispondenza di tale valore di x calcoliamo y dalla equazione

y^2=4-4x^2\iff y^2=4\iff y=\pm 2

I punti di massimo per la funzione f sono A_1(0,-2), A_2 (0,2).

Ora la funzione h ha almeno un punto di minimo assoluto, ma non sta all'interno dell'intervallo, bensì agli estremi.

h(-1)= 1= h(1)

Quindi x=-1 e x=1 sono punti di minimo per la funzione h. Dobbiamo determinare in corrispondenza di questi valori i corrispondenti y:

y=4-4x^2

Per x=\pm 1 il rispettivo valore di y è y=0.

I punti di minimo per la funzione f sono A_3(-1,0) e A_4(1,0).
Ringraziano: Omega, Pi Greco, CarFaby

Esercizio su massimi e minimi vincolati con Lagrange #24850

avt
equilibrio
Cerchio
A posto, grazie mille! Qui ci sono, provo con gli altri ed eventualmente torno a farmi sentire.
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Os