Equazione differenziale a variabili separabili in un problema di Cauchy

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Equazione differenziale a variabili separabili in un problema di Cauchy #24587

avt
terk23
Banned
Ciao a tutti, per favore potreste mostrarmi come risolvere questo esercizio su un problema di Cauchy in cui è data un'equazione differenziale a variabili separabili?

Il problema di Cauchy è questo:

y'=8ty+t

y(1)=7/8

Grazie mille in anticipo! emt
 
 

Equazione differenziale a variabili separabili in un problema di Cauchy #24597

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao terk23 emt

Iniziamo:

\begin{cases}y'= 8ty+t\\y(1)= \frac{7}{8}\end{cases}

L'equazione differenziale che interviene è a variabili separabili, nota infatti che essa si scrive come:

y'= t(8y+1)

In questo caso:


a(t)= t è una funzione continua in \mathbb{R}

b(y)= 8y+1 è una funzione continua e derivabile, con derivata continua in \mathbb{R}. Il teorema di esistenza e unicità è soddisfatto.

Determiniamo le soluzioni stazionarie:

b(y)=0\iff 8y+1=0\iff y=-\frac{1}{8}

Non rispetta la condizione iniziale, quindi non è soluzione del problema di Cauchy.

La soluzione non costante avrà immagine contenuta o in \left(-\infty, -\frac{1}{8}\right) oppure in \left(-\frac{1}{8},+\infty\right)

Poiché \frac{7}{8}\in \left(-\frac{1}{8}, +\infty\right) allora y\in\left(-\frac{1}{8},+\infty\right)

Separiamo le variabili:

\int \frac{y'(t)dt}{8y(t)+1}=\int tdt

Per il primo integrale procediamo per sostituzione, ponendo:

z= 8y(t)+1\implies dz= 8y'(t)dt\iff \frac{dz}{8}= y'(t)dt

L'integrale diventa:

\int \frac{dz}{8z}= \frac{1}{8}\ln|z|+c_1

di conseguenza:

\int \frac{y'(t)dt}{8y(t)+1}= \frac{1}{8}\ln|8y(t)+1|+c_1

poiché y(t)>-\frac{1}{8} allora il valore assoluto è inutile:

\int \frac{y'(t)dt}{8y(t)+1}= \frac{1}{8}\ln(8y(t)+1)+c_1

L'integrale al secondo membro è immediato.

L'integrale \int tdt= \frac{1}{2}t^2+c_2

Imponendo l'uguaglianza abbiamo:

\frac{1}{8}\ln(8y(t)+1)= \frac{t^2}{2}+k

Imponiamo la condizione iniziale:

\frac{\ln(8)}{8}= \frac{1}{2}+k\implies k= \frac{\ln(8)}{8}-\frac{1}{2}

L'equazione si riscrive come:


\frac{1}{8}\ln(8y(t)+1)= \frac{t^2}{2}+\frac{\ln(8)}{8}-\frac{1}{2}

Moltiplichiamo per 8 membro a membro:

\ln(8y(t)+1)= 4t^2+\ln(8)-4

Applichiamo l'esponenziale:

8y(t)+1= e^{4t^2+\ln(8)-4}

Da cui

y(t)= \frac{e^{4t^2+\ln(8)-4}}{8}-\frac{1}{8}=

y(t)= e^{4t^2-4}-\frac{1}{8}

Se hai domande sono qui emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, frank094, xavier310, CarFaby, Cleanthe, julissa
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