Integrale doppio su un dominio con parametro

Salve, mi aiutate a risolvere questo integrale doppio? Ciò che mi disturba è la presenza del parametro K nel dominio.





con

Scusate se ci sono errori, ma è la prima volta che scrivo con Latex..

Ciao Alele88, benvenuto in YouMath!

Facciamo finta che quel non ci sia e proviamo a disegnare il dominio di integrazione nel piano cartesiano: si vede che esso è dato dalla regione di piano compresa tra quattro rette, a due a due parallele, dunque è un parallelogramma.

L'area di tale parallelogramma dipende, naturalmente, dalla scelta del parametro .

Riscriviamo le condizioni che individuano il dominio nella forma





o anche





Le stesse disequazioni che definiscono il dominio ci suggeriscono di operare un cambiamento di coordinate della forma



e in tale sistema di coordinate il dominio di integrazione si riduce a un rettangolo





Molto bene! Anche la funzione integranda ne risulta parecchio semplificata





Prima di poter scrivere l'integrale nel nuovo sistema di coordinate, dobbiamo ricordarci la legge che esprime la variazione dell'elemento d'area



dove è il modulo del determinante della matrice Jacobiana del cambiamento di coordinate. Che roba è? Ne raccontiamo vita, morte e miracoli qui: Jacobiano - click!

Invertiamo le trasformazioni inverse:





La matrice Jacobiana è data da



e ha determinante in modulo dato da .

Siamo pronti a riscrivere l'integrale:



Lascio a te i conti, ma se dovessi avere difficoltà, non esitare a chiedere

non so come impostarlo per risolverlo. Comunque grazie per la risposta, è perfetta

Grazie

Puoi fare così:



In questo modo hai ridotto l'integrale a due integrali in una variabile, con i quali non credo avrai difficoltà. Il primo integrale lo puoi calcolare con il metodo dei fratti semplici (integrazione di funzioni razionali), il secondo è elementare - l'integranda ha per primitiva un logaritmo.