Integrale doppio su un dominio con parametro

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Integrale doppio su un dominio con parametro #24524

avt
Alele88
Punto
Salve, mi aiutate a risolvere questo integrale doppio? Ciò che mi disturba è la presenza del parametro K nel dominio.

iint_(D)(1)/(3(x^(2)-y^(2))(x+y)-x+y) dx dy

D = (x,y)∈ R^(2): x+1 ≤ y ≤ x+2; 1-x ≤ y ≤ K-x

con K > 1

Scusate se ci sono errori, ma è la prima volta che scrivo con Latex..
 
 

Integrale doppio su un dominio con parametro #24529

avt
Omega
Amministratore
Ciao Alele88, benvenuto in YouMath! emt

Facciamo finta che quel K > 1 non ci sia emt e proviamo a disegnare il dominio di integrazione nel piano cartesiano: si vede che esso è dato dalla regione di piano compresa tra quattro rette, a due a due parallele, dunque è un parallelogramma.

L'area di tale parallelogramma dipende, naturalmente, dalla scelta del parametro K.

Riscriviamo le condizioni che individuano il dominio nella forma

1 ≤ y-x ≤ 2

1 ≤ x+y ≤ K

o anche

-2 ≤ x-y ≤ -1

1 ≤ x+y ≤ K

Le stesse disequazioni che definiscono il dominio ci suggeriscono di operare un cambiamento di coordinate della forma

u = x+y ; v = x-y

e in tale sistema di coordinate il dominio di integrazione si riduce a un rettangolo

-2 ≤ v ≤ -1

1 ≤ u ≤ K

Molto bene! emt Anche la funzione integranda ne risulta parecchio semplificata

(1)/(3(x^2-y^2)(x+y)-x+y) = (1)/([3(x+y)^2-1](x-y)) =

(1)/(v(3u^2-1))

Prima di poter scrivere l'integrale nel nuovo sistema di coordinate, dobbiamo ricordarci la legge che esprime la variazione dell'elemento d'area

dxdy → |J|dudv

dove |J| è il modulo del determinante della matrice Jacobiana del cambiamento di coordinate. Che roba è? Ne raccontiamo vita, morte e miracoli qui: Jacobiano - click!

Invertiamo le trasformazioni inverse:

u = x+y ; v = x-y

x = (1)/(2)u+(1)/(2)v ; y = (1)/(2)u-(1)/(2)v

La matrice Jacobiana è data da

[ (partial x(u,v))/(partial u) (x(u,v))/(partial v) ; (partial y(u,v))/(partial u) (partial y(u,v))/(partial v) ] = [ (1)/(2) (1)/(2) ; (1)/(2) -(1)/(2) ]

e ha determinante in modulo dato da (1)/(2).

Siamo pronti a riscrivere l'integrale:

∫∫_([-2,-1]×[1,K])(1)/(v(3u^2-1))(1)/(2)dudv

Lascio a te i conti, ma se dovessi avere difficoltà, non esitare a chiedere emt
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, Alele88, CarFaby

Re: Integrale doppio su un dominio con parametro #24551

avt
Alele88
Punto
emt non so come impostarlo per risolverlo. Comunque grazie per la risposta, è perfetta emt

Re: Integrale doppio su un dominio con parametro #24558

avt
Omega
Amministratore
Grazie emt

Puoi fare così:

∫∫_([-2,-1]×[1,K])(1)/(v(3u^2-1))(1)/(2)dudv = (1)/(2)∫_(1)^(k)(1)/(3u^2-1)du∫_(-2)^(-1)(1)/(v)dv

In questo modo hai ridotto l'integrale a due integrali in una variabile, con i quali non credo avrai difficoltà. Il primo integrale lo puoi calcolare con il metodo dei fratti semplici (integrazione di funzioni razionali), il secondo è elementare - l'integranda ha per primitiva un logaritmo.
Ringraziano: Alele88, CarFaby
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Os