Equazione differenziale di secondo grado con parametro, esercizio

Ciao, potreste darmi una mano con un esercizio su un'equazione differenziale di secondo grado con parametro?

In un esercizio ho questa equazione differenziale dipendente dal parametro h, con h>=0



Devo trovare le soluzioni dell'equazione differenziale dotate di asintoto orizzontale sinistro...Non so bene come procedere per soddisfare ciò che chiede!

Prima di cominciare, attenzione: nel contesto delle equazioni differenziali non si parla di grado, bensì di ordine.

E' necessario risolvere l'equazione differenziale del secondo ordine non omogenea, in base ai possibili valori di . Bisogna distinguere tre casi, derivanti dallo studio del discriminante dell'equazione caratteristica. Cominciamo:



L'equazione omogenea associata è ovviamente:



L'equazione caratteristica è:



le cui soluzioni sono



Prima distinzione: facciamo riferimento al metodo per risolvere le equazioni differenziali del secondo ordine omogenee a coefficienti costanti.

• Se allora l'equazione caratteristica avrà di conseguenza la famiglia di soluzioni dell'omogenea associata è:



• Se , allora il discriminante associato all'equazione caratteristica è maggiore di 0 pertanto la famiglia di soluzioni della equazione differenziale omogenea associata è:



A e B sono le costanti che dobbiamo determinare, e per farlo utilizzeremo la condizione imposta dall'esercizio. Ma prima dobbiamo determinare la soluzione particolare. In tal caso è utile utilizzare il metodo di somiglianza:

La funzione a secondo membro della equazione differenziale è del tipo:



Nel nostro caso:

• è un polinomio di grado 1
• è il coefficiente del monomio-esponente di e.

Per questioni teoriche dobbiamo però distinguere i casi e

•

In questo caso, è una radice del polinomio caratteristico di molteplicità 1. La soluzione particolare sarà quindi:



con a e b costanti da determinare. In che modo?

Ovviamente la soluzione particolare deve soddisfare l'equazione differenziale.



, ma h=1 quindi si riduce a:



Tale soluzione, ripetiamolo, deve soddisfare l'equazione differenziale



Sostituiamo e imponiamo l'uguaglianza:



deve essere uguale a , uguagliando:



da cui:


Per il principio di identità dei polinomi, abbiamo il seguente sistema:


da cui si ottiene che

La soluzione particolare è:



L'integrale generale della equazione differenziale è dunque:



(ti ricordo che h=1, quindi è scomparso dalla soluzione omogenea)

Affinché vi sia un asintoto orizzontale sinistro, dobbiamo pretendere che:

dove L è un numero reale.

Tra tutti gli addendi che compongono l'integrale generale, l'unico che non rispetta la nostra pretesa è il termine .

Visto che ci rompe le uova nel paniere, lo annulliamo imponendo B=0. A può essere qualsiasi numero, tanto è gentile e fa quello che le abbiamo chiesto.

•Per

La soluzione dell'omogenea associata è sempre la stessa, quella che cambia è la soluzione particolare.


Dobbiamo fare quello che abbiamo fatto prima:



di conseguenza:


Imponiamo l'uguaglianza con



da cui


Sempre per il principio di identità dei polinomi abbiamo che:



Da cui


Sostituendo nella soluzione:



L'integrale generale della equazione differenziale è quindi:


Come al solito dobbiamo imporre che:



e questo avviene solo se .

L'ultimo caso:

•

L'equazione differenziale si riduce a


La soluzione particolare sarà sempre della forma:


Calcoliamo



Imponiamo l'uguaglianza:



da cui otteniamo:



Quindi

di conseguenza l'integrale generale è:



In questo caso, quello che ci crea problemi nel limite:



è A, quindi lo annulliamo, ponendo A=0.

Ricapitolando:

•Se

Le funzioni che rispettano le condizioni dell'esercizio sono della forma:



• Se
Le funzioni che rispettano le condizioni dell'esercizio sono della forma:



• Se
Le funzioni che rispettano le condizioni dell'esercizio sono della forma:




L'esercizio è concluso. Ricontrolla tutto mi raccomando

Grazie per la esauriente risposta! Una perplessità...
Oltre il metodo di variazione delle costanti di lagrange, conoscevo il caso particolare di quando la soluzione particolare fosse e^(ax) e quando a era una radice o meno del polinomio...
Ma in questo caso in cui era presente la x prima di e, come si procede? Cioè come mai compare quel termine che moltiplica (ax+b)?

Grazie ancora...

Proprio perché c'è la x. Probabilmente non avete ancora fatto il metodo generale (quello che spieghiamo nella lezione sul metodo di somiglianza che ho linkato in precedenza).

Quando hai una equazione differenziale del secondo ordine non omogenea a coefficienti costanti del tipo:



con dove è un polinomio di grado allora:

• Se è radice del polinomio caratteristico di molteplicità allora:



dove è un polinomio di grado n generico,

• Se non è radice del polinomio caratteristico allora:



dove è un polinomio di grado n generico.
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In quel caso particolare io ho preso in considerazione un polinomio generico di grado uno proprio perché è richiesto dall'algoritmo risolutivo

Ti trovi?

Chiarissimo! Mi mancava questo caso generale!
Grazie davvero!