Equazione differenziale di secondo grado con parametro, esercizio

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Equazione differenziale di secondo grado con parametro, esercizio #2442

avt
gianluca.1992
Cerchio
Ciao, potreste darmi una mano con un esercizio su un'equazione differenziale di secondo grado con parametro?

In un esercizio ho questa equazione differenziale dipendente dal parametro h, con h>=0

y''(x)-h^2 y(x) = x e^x

Devo trovare le soluzioni dell'equazione differenziale dotate di asintoto orizzontale sinistro...Non so bene come procedere per soddisfare ciò che chiede!
 
 

Equazione differenziale di secondo grado con parametro, esercizio #2450

avt
Ifrit
Amministratore
Prima di cominciare, attenzione: nel contesto delle equazioni differenziali non si parla di grado, bensì di ordine.

E' necessario risolvere l'equazione differenziale del secondo ordine non omogenea, in base ai possibili valori di h. Bisogna distinguere tre casi, derivanti dallo studio del discriminante dell'equazione caratteristica. Cominciamo:

y''(x)-h^2 y(x) = x e^x


L'equazione omogenea associata è ovviamente:

y''(x)-h^2 y(x) = 0

L'equazione caratteristica è:

p(λ) = λ^2-h^2 = 0

le cui soluzioni sono

λ_1 = h qquad qquad λ_2 = -h


Prima distinzione: facciamo riferimento al metodo per risolvere le equazioni differenziali del secondo ordine omogenee a coefficienti costanti.

• Se h = 0 allora l'equazione caratteristica avrà Δ = 0 di conseguenza la famiglia di soluzioni dell'omogenea associata è:

y_0(x) = Ax+B


• Se h ne 0, allora il discriminante associato all'equazione caratteristica è maggiore di 0 pertanto la famiglia di soluzioni della equazione differenziale omogenea associata è:

y_0(x) = A e^(hx)+B e^(-h x) con A, B∈ R

A e B sono le costanti che dobbiamo determinare, e per farlo utilizzeremo la condizione imposta dall'esercizio. Ma prima dobbiamo determinare la soluzione particolare. In tal caso è utile utilizzare il metodo di somiglianza:

La funzione a secondo membro della equazione differenziale è del tipo:

q_n(x)e^(α x)


Nel nostro caso:

q_n(x) = x è un polinomio di grado 1
α = 1 è il coefficiente del monomio-esponente di e.

Per questioni teoriche dobbiamo però distinguere i casi h = 1 e h ne 1

h = α = 1

In questo caso, α = 1 è una radice del polinomio caratteristico di molteplicità 1. La soluzione particolare sarà quindi:

y_p(x) = x e^(x) (a x+b)


con a e b costanti da determinare. In che modo?

Ovviamente la soluzione particolare deve soddisfare l'equazione differenziale.

y_p''(x) = e^x (2a+2b+(4a+b)x+a x^2)

h^2 y_p(x) = h^2 e^x x(a x+b), ma h=1 quindi si riduce a:

y_p(x) = e^x x(a x+b)

Tale soluzione, ripetiamolo, deve soddisfare l'equazione differenziale

y_p''(x)-y_p(x) = x e^x

Sostituiamo e imponiamo l'uguaglianza:

y_p''(x)-y_p(x) = 2e^x(a+b+2ax)


deve essere uguale a xe^x, uguagliando:

2e^x(a+b+2ax) = x e^x


da cui:

2a+2b+4ax = x

Per il principio di identità dei polinomi, abbiamo il seguente sistema:

a+b = 0 ; 4a = 1

da cui si ottiene che a = (1)/(4) qquad b = -(1)/(4)

La soluzione particolare è:

y_p(x) = x e^x ((1)/(4)x-(1)/(4))

L'integrale generale della equazione differenziale è dunque:

y(x) = y_p(x)+y_0(x) = x e^x ((1)/(4)x-(1)/(4))+A e^(x)+B e^(-x)

(ti ricordo che h=1, quindi è scomparso dalla soluzione omogenea)

Affinché vi sia un asintoto orizzontale sinistro, dobbiamo pretendere che:

lim_(x → -∞) y_p(x)+y_0(x) = L dove L è un numero reale.

Tra tutti gli addendi che compongono l'integrale generale, l'unico che non rispetta la nostra pretesa è il termine B e^(-x).

Visto che ci rompe le uova nel paniere, lo annulliamo imponendo B=0. A può essere qualsiasi numero, tanto è gentile e fa quello che le abbiamo chiesto.

•Per h ne0 ∧ h ne1

La soluzione dell'omogenea associata è sempre la stessa, quella che cambia è la soluzione particolare.

y_p(x) = e^x (ax+b)

Dobbiamo fare quello che abbiamo fatto prima:

y_p''(x) = e^x (2a+b+a x)

di conseguenza:

y_p''(x)-h^2 y_p(x) = e^x(2a+b-b h^2+a x-a h^2 x)

Imponiamo l'uguaglianza con x e^x

e^x(2a+b-b h^2+a x-a h^2 x) = xe^x

da cui

2a+b-b h^2+a x-a h^2 x = x

Sempre per il principio di identità dei polinomi abbiamo che:

2a+(1-h^2)b = 0 ; (1-h^2)a = 1

Da cui

a = (1)/(1-h^2) qquad qquad b = -(2)/((1-h^2)^2)

Sostituendo nella soluzione:

y_p(x) = e^x ((1)/(1-h^2)x-(2)/((1-h^2)^2))


L'integrale generale della equazione differenziale è quindi:

y(x) = y_0(x)+y_p(x) = e^x ((1)/(1-h^2)x-(2)/((1-h^2)^2))+A e^(hx)+B e^(-h x)

Come al solito dobbiamo imporre che:

lim_(x → -∞) y(x) = L

e questo avviene solo se B = 0.

L'ultimo caso:

h = 0

L'equazione differenziale si riduce a

y''(x) = x e^x

La soluzione particolare sarà sempre della forma:

y_p(x) = (a x+b)e^x

Calcoliamo

y_p''(x) = e^x (2a+b+a x)

Imponiamo l'uguaglianza:

e^x (2a+b+ax) = x e^x

da cui otteniamo:

a = 1 ; 2a+b = 0

Quindi a = 1 qquad qquad b = -2

di conseguenza l'integrale generale è:

y(x) = y_0(x)+y_p(x) = Ax+B+(x-2)e^x

In questo caso, quello che ci crea problemi nel limite:

lim_(x → -∞)A x+B+(x-2)e^x

è A, quindi lo annulliamo, ponendo A=0.

Ricapitolando:

•Se h = 0

Le funzioni che rispettano le condizioni dell'esercizio sono della forma:

y(x) = B+(x-2)e^x


• Se h ne 1 ∧ h ne 0
Le funzioni che rispettano le condizioni dell'esercizio sono della forma:

y(x) = e^x ((1)/(1-h^2)x-(2)/((1-h^2)^2))+A e^(hx)


• Se h = 1
Le funzioni che rispettano le condizioni dell'esercizio sono della forma:

y(x) = x e^x ((1)/(4)x-(1)/(4))+A e^(x)



L'esercizio è concluso. Ricontrolla tutto mi raccomando emt
Ringraziano: Omega, gianluca.1992, frank094, CarFaby

Equazione differenziale di secondo grado con parametro, esercizio #2458

avt
gianluca.1992
Cerchio
Grazie per la esauriente risposta! Una perplessità...
Oltre il metodo di variazione delle costanti di lagrange, conoscevo il caso particolare di quando la soluzione particolare fosse e^(ax) e quando a era una radice o meno del polinomio...
Ma in questo caso in cui era presente la x prima di e, come si procede? Cioè come mai compare quel termine che moltiplica (ax+b)?

Grazie ancora...

Equazione differenziale di secondo grado con parametro, esercizio #2462

avt
Ifrit
Amministratore
Proprio perché c'è la x. Probabilmente non avete ancora fatto il metodo generale (quello che spieghiamo nella lezione sul metodo di somiglianza che ho linkato in precedenza).

Quando hai una equazione differenziale del secondo ordine non omogenea a coefficienti costanti del tipo:

y''(x)+a y'(x)+b y(x) = f(x)


con f(x) = q_n(x) e^(α x) dove q_n (x) è un polinomio di grado n ≥ 1 allora:

• Se α è radice del polinomio caratteristico di molteplicità m allora:

y_p(x) = x^m p_n(x) e^(α x)


dove p_n(x) è un polinomio di grado n generico,

• Se α non è radice del polinomio caratteristico allora:

y_p(x) = p_n(x) e^(α x)


dove p_n(x) è un polinomio di grado n generico.
_______________________________________________________________

In quel caso particolare io ho preso in considerazione un polinomio generico di grado uno proprio perché è richiesto dall'algoritmo risolutivo emt

Ti trovi?
Ringraziano: Omega, gianluca.1992, frank094, CarFaby, Caciotek

Equazione differenziale di secondo grado con parametro, esercizio #2463

avt
gianluca.1992
Cerchio
Chiarissimo! Mi mancava questo caso generale!
Grazie davvero!
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