Max e min vincolati di una funzione di due variabili

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Max e min vincolati di una funzione di due variabili #23575

avt
paperino
Frattale
Sto impazzendo con un esercizio sui max e min vincolati di una funzione di due variabili che recita cosi:

Determinare i punti critici (maax, min) della funzione di due variabili:

f(x,y)=x-y

con vincolo:

arctg (x^2 +y^2 -2) = 2-x+y

Per determinare i max e min vincolati ho usato il metodo dei moltiplicatore di Lagrange, ho quindi fatto il sistema e mi trovo

x=-y (infatti il punto che mi devo trovare è (1,-1) ma nel suggerimento dice:

"con il metodo dei moltiplicatori di lagrange per il valore del parametro \lambda = 1/3 si trova il punto critico (1,-1) "

Non capisco se devo trovare io quel parametro, o posso dare un parametro per vedere che punto viene... emt Anche perche la terza equazione è inutilizzabile dal momento che ho al primo membro una funzione trascendetnale e al secondo membro l'equazione di un piano....

(mi riferisco al vincolo: arctg (x^2 +y^2 -2) = 2-x+y)

Chi mi da un suggerimento? Grazie
 
 

Max e min vincolati di una funzione di due variabili #23602

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao Paperino emt

Abbiamo la funzione:

f(x,y)=x-y

Il vincolo è:

\arctan(x^2+y^2-2)=2-x+y

Scriviamo il vincolo nella forma g(x,y)=0, portando tutto al primo membro:

g(x,y)=\arctan(x^2+y^2-2)-2+x-y=0

Costruiamo la lagrangiana:

L(x,y,\lambda)= f(x,y)-\lambda g(x,y)

e calcoliamo le derivate parziali:

L_{x}(x,y, \lambda)=1-\left(1+\frac{2x}{1+(2-x^2-y^2)^2}\right)\lambda

L_{y}(x,y, \lambda)=-1-\left(-1+\frac{2y}{1+(2-x^2-y^2)^2}\right)\lambda

L_{\lambda}(x,y, \lambda)=2-x+y+\arctan(2-x^2-y^2)

Impostando il sistema otteniamo:

\begin{cases}1-\left(1+\frac{2x}{1+(2-x^2-y^2)^2}\right)\lambda =0\\-1-\left(-1+\frac{2y}{1+(2-x^2-y^2)^2}\right)\lambda=0\\2-x+y+\arctan(2-x^2-y^2)=0\end{cases}

Da cui


\begin{cases}\left(1+\frac{2x}{1+(2-x^2-y^2)^2}\right)\lambda =1\\-\left(-1+\frac{2y}{1+(2-x^2-y^2)^2}\right)\lambda=1\\2-x+y+\arctan(2-x^2-y^2)=0\end{cases}

procedendo per confronto tra la prima e seconda equazione:

\left(1+\frac{2x}{1+(2-x^2-y^2)^2}\right)\lambda=-\left(-1+\frac{2y}{1+(2-x^2-y^2)^2}\right)\lambda

Per \lambda\ne 0 possiamo dividere membro a membro:


1+\frac{2x}{1+(2-x^2-y^2)^2}\right)=1-\frac{2y}{1+(2-x^2-y^2)^2}

se e solo se:

\frac{2x}{1+(2-x^2-y^2)^2}\right)=-\frac{2y}{1+(2-x^2-y^2)^2}

se e solo se:


\frac{2x}{1+(2-x^2-y^2)^2}\right)+\frac{2y}{1+(2-x^2-y^2)^2}=0

quindi:


\frac{2(x+y)}{1+(2-x^2-y^2)^2}\right)=0


La cui soluzione è y=-x

Sostituiamo nella terza equazione

2-2x+\arctan(2-2x^2)=0\iff x=1

Da cui otteniamo y=-1

Sostituiamo i valori nella prima equazione:

1-3\lambda=0\iff \lambda=\frac{1}{3}.

Spero sia chiaro emt
Ringraziano: Omega, CarFaby
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Os