Equazione differenziale del primo ordine non omogenea a variabili separabili

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Equazione differenziale del primo ordine non omogenea a variabili separabili #23537

avt
derp
Frattale
Mi sono bloccato sullo svolgimento di questa equazione differenziale a variabili separabili.

Come si trovano le soluzioni di questa equazione differenziale del primo ordine non omogenea?

xyy'= 1-y^2 ; y(1) = 1
 
 

Re: Equazione differenziale del primo ordine non omogenea a variabili separabili #23560

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao!

xyy'= 1-y^2 ; y(1) = 1

Scriviamo l'equazione differenziale in forma normale:

y'= (1-y^2)/(x y)

È una equazione differenziale a variabili separabili:

a(x) = (1)/(x) è una funzione continua in (-∞, 0) U (0,+∞)

mentre:

b(y) = (1-y^2)/(y) che è una funzione continua e derivabile in (-∞,0) U (0, ∞). Poiché la condizione iniziale è (1,1) allora dobbiamo lavorare nell'insieme:

(0,+∞)×(0,+∞)

Il teorema di esistenza e unicità locale è soddisfatto. Determiniamo le soluzioni stazionarie (costanti) che sono date dalla risoluzione:

b(y) = 0 ⇔ 1-y^2 = 0 ⇔ y_1 = 1 ∨ y_2 = -1

Ti faccio notare che y_1(x) = 1, oltre ad essere una soluzione stazionaria è anche soluzione del problema di Cauchy perché rispetta la condizione iniziale y(1) = 1. Abbiamo finito! emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, CarFaby
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Os