Problema di Cauchy con metodo di variazione delle costanti

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Problema di Cauchy con metodo di variazione delle costanti #23462

avt
derp
Frattale
Buongiorno YouMath vi propongo il seguente problema di Cauchy che presenta al secondo membro un'esponenziale per un logaritmo, allora:

y''+6y'+9y = e^(-3x)log(1+x^2)

con y(0) = 0

e y'(0) = 1

Credo che vada risolto con il metodo di variazione delle costanti...è giusto?

Grazie emt
 
 

Problema di Cauchy con metodo di variazione delle costanti #23474

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao derp emt , l'equazione differenziale che proponi, si risolve con il metodo delle variazioni delle costanti.

Iniziamo studiando l'omogenea associata, seguendo il procedimento per le equazioni differenziali del secondo ordine omogenee a coefficienti costanti

y''+6y'+9y = 0

L'equazione caratteristica associata è:

λ^2+6λ+9 = 0 ⇔ (λ+3)^2 = 0 ⇔ λ_(1,2) = -3

Abbiamo due soluzioni reali e coincidenti, la famiglia di soluzioni che soddisfa l'equazione differenziale omogenea è:

y_0(x) = c_1e^(-3x)+c_2x e^(-3x)

con c_1,c_2∈R costanti da determinare. Adesso andiamo alla ricerca della soluzione particolare, che con

y_p(x) = v_1(x)b_1(x)+v_2(x) b_2(x)

in questo caso:

b_1(x) = e^(-3x), b_2(x) = e^(-3x)x

Calcoliamo il Wronskiano

mathcalW(x) = |b_1(x) b_2(x) ; b_1'(x) b_2'(x)| =

= |e^(-3x) e^(-3x)x ;-3e^(-3x) e^(-3x)(1-3x)| = e^(-6x)

Di conseguenza:

v_1(x) = -∫ (f(x) b_2(x))/(mathcalW(x))dx =

= -∫ (e^(-3x)ln(1+x^2) x e^(-3x))/(e^(-6x))dx =

= -∫ xln(1+x^2)dx = (x^2)/(2)-(1)/(2)ln(1+x^2)(1-x^2)

mentre

v_2(x) = ∫ (f(x) b_1(x))/(mathcalW(x))dx =

= ∫ (e^(-3x)ln(1+x^2) e^(-3x))/(e^(-6x))dx =

= ∫ ln(1+x^2)dx = -2x+2arctan(x)+xln(x^2+1)

Di conseguenza la soluzione particolare è:

y_p(x) = v_1(x)b_1(x)+v_2(x)b_2(x) =

= e^(-3x)((x^2)/(2)-(1)/(2)(1-x^2)ln(1+x^2))+xe^(-3x)(-2x+2arctan(x)+xln(x^2+1)) =

= (1)/(2)e^(-3x)(-3x^2+4x arctan(x)-ln(1+x^2)+3x^2ln(1+x^2)).

L'integrale generale è:

y(x) = y_0(x)+y_p(x) =

= (1)/(2)e^(-3x)(-3x^2+4x arctan(x)-ln(1+x^2)+3x^2ln(1+x^2))+c_1e^(-3x)+c_2x e^(-3x)

Imponiamo le condizioni iniziali:

y(0) = 0 ⇔ c_1 = 0

y'(0) = 1 ⇔ -3c_1+c_2 = 1 ⇔ c_2 = 1

La funzione soluzione del problema di Cauchy è:

y(x) = (1)/(2)e^(-3x)(-3x^2+4x arctan(x)-ln(1+x^2)+3x^2ln(1+x^2))+x e^(-3x)
Ringraziano: Omega, Pi Greco, AnimeLover93, CarFaby, Andeng, Pepone
  • Pagina:
  • 1
Os