Problema di Cauchy del secondo ordine, equazione differenziale lineare omogenea

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Problema di Cauchy del secondo ordine, equazione differenziale lineare omogenea #23453

avt
math
Cerchio
Salve a tutti, avrei bisogno di una semplice spiegazione per la risoluzione di un problema di Cauchy del secondo ordine, in cui compare un'equazione differenziale lineare omogenea del secondo ordine.

Ecco la traccia :

y''-6y'+10y = 0

Condizioni al contorno

y(0) = 1 ; y'(0) = 0

Come prima cosa dovrei risolvere l'equazione differenziale omogenea, che è scritta nella forma

y''+ay'+by = 0

Quindi procedo calcolandomi il delta, per capire a quale dei 3 casi appartiene, in questo caso il delta è minore di 0, quindi la soluzione sarà della forma:

y = e^(α) x (c_1 cos(Bx)+c_2 sin(Bx))

con α = -(a)/(2) ; B = (√(-δ))/(2), quindi

y = e^(3x) (c_1 cos(1x)+sin(1x))

Ora come dovrei andare avanti? Dove ho sbagliato?
 
 

Problema di Cauchy del secondo ordine, equazione differenziale lineare omogenea #23460

avt
kameor
Sfera
ciao, ci troviamo di fronte ad una equazione del secondo ordine omogenea a coefficienti costanti.

si mi sembra sia tutto corretto, solo una cosa: siccome l'equazione è del secondo ordine allora la soluzione è composta da due funzioni indipendenti per cui nella formula della soluzione generale devi aggiungere due coefficienti

y = e^(3x)(c_1cos(x)+c_2 sin(x))

poi devi trovare per quali valori di c1 e c2 sono soddisfatte le condizioni del problema

per la prima basta che sostituisci x = 0 e y = 1 nella soluzione generale per ottenere la prima equazione

1 = c_1cos(0)+c_2 sin(0) = c_1

quindi si trova subito che c1 = 1

per la seconda invece va prima calcolata la derivata, si puo gia sostituire c1 = 1, in modo da semplificare la funzione

y'= (d)/(dx)(e^(3x)(cos(x)+c_2sin(x)) = e^(3x)((c_2+3)cos(x)+(3c_2-1)sin(x))

come prima sostituisci x = 0 e y = 0 e trovi

0 = (c_2+3)cos(0)+(3c_2-1)sin(0) = c_2+3

per cui ricavi c2 = -3.

ti consiglio questa lettura: metodo di somiglianza per le equazioni differenziali.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, math

Problema di Cauchy del secondo ordine, equazione differenziale lineare omogenea #23473

avt
math
Cerchio
senti non ho capito una cosa della seconda, la derivata di tutta l'equazione che ho ottenuto con la risoluzione di c1?

Problema di Cauchy del secondo ordine, equazione differenziale lineare omogenea #23479

avt
kameor
Sfera
cosa non hai capito, lo svolgimento della derivata?
Ringraziano: Omega

Problema di Cauchy del secondo ordine, equazione differenziale lineare omogenea #23481

avt
math
Cerchio
per la seconda invece va prima calcolata la derivata, si può già sostituire c_1 = 1, in modo da semplificare la funzione

y'= (d)/(dx)(e^(3x)(cos(x)+c_2sin(x)) = e^(3x)((c_2+3)cos(x)+(3c_2-1)sin(x))

come prima sostituisci x = 0 e y = 0 e trovi

0 = (c_2+3)cos(0)+(3c_2-1)sin(0) = c_2+3

per cui ricavi c_2 = -3

Problema di Cauchy del secondo ordine, equazione differenziale lineare omogenea #23485

avt
kameor
Sfera
si ma qual'è la parte che non ti torna?
Ringraziano: Omega

Re: Problema di Cauchy del secondo ordine, equazione differenziale lineare omogenea #23516

avt
math
Cerchio
io ho capito quando mi esce c = 1, poi la seconda parte che devo calcolare la derivata prima, ma la derivata prima di cosa? Mi potresti descrivere il passaggio successivo alla parte di c_1 = 1 ?

Da qui non mi è chiara forse la derivata...

Re: Problema di Cauchy del secondo ordine, equazione differenziale lineare omogenea #23554

avt
kameor
Sfera
ah ok, in pratica noi abbiamo trovato la soluzione

y(x) = e^(3x)(c_1cos(x)+c_2sin(x))

che al variare di c_1,c_2 rappresenta un insieme di curve o funzioni che soddisfano l'equazione differenziale

imponendo che y(0) = 1 abbiamo trovato che c_1 = 1

per cui sostituendo il valore di c_1 trovato nella soluzione generale si ottiene:

y(x) = e^(3x)(cos(x)+c_2sin(x))

che rappresentano tutte le soluzioni dell'equazione differenziale che y(0) = 1, cioè valgono 1 quando x = 0

l'altra condizione dice che y'(0) = 0, per cui bisogna calcolare la derivata di y(x) e imporre il passaggio di questa per l'origine.

y'(x) = (d)/(dx) (e^(3x)(cos(x)+c_2sin(x))) =

e^(3x)((c_2+3)cos(x)+(3c_2-1)sin(x))

poi a questa sostituisci x = 0 e y' = 0 per ricavare c_2 come fatto prima.

dimmi se adesso ti è più chiaro ^^
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit

Re: Problema di Cauchy del secondo ordine, equazione differenziale lineare omogenea #23570

avt
math
Cerchio
si ok
grazie
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Os