Problema di Cauchy del secondo ordine, equazione differenziale lineare omogenea

Salve a tutti, avrei bisogno di una semplice spiegazione per la risoluzione di un problema di Cauchy del secondo ordine, in cui compare un'equazione differenziale lineare omogenea del secondo ordine.

Ecco la traccia :



Condizioni al contorno



Come prima cosa dovrei risolvere l'equazione differenziale omogenea, che è scritta nella forma



Quindi procedo calcolandomi il delta, per capire a quale dei 3 casi appartiene, in questo caso il delta è minore di 0, quindi la soluzione sarà della forma:



con , quindi



Ora come dovrei andare avanti? Dove ho sbagliato?

ciao, ci troviamo di fronte ad una equazione del secondo ordine omogenea a coefficienti costanti.

si mi sembra sia tutto corretto, solo una cosa: siccome l'equazione è del secondo ordine allora la soluzione è composta da due funzioni indipendenti per cui nella formula della soluzione generale devi aggiungere due coefficienti



poi devi trovare per quali valori di c1 e c2 sono soddisfatte le condizioni del problema

per la prima basta che sostituisci x = 0 e y = 1 nella soluzione generale per ottenere la prima equazione



quindi si trova subito che c1 = 1

per la seconda invece va prima calcolata la derivata, si puo gia sostituire c1 = 1, in modo da semplificare la funzione



come prima sostituisci x = 0 e y = 0 e trovi



per cui ricavi c2 = -3.

ti consiglio questa lettura: metodo di somiglianza per le equazioni differenziali.

senti non ho capito una cosa della seconda, la derivata di tutta l'equazione che ho ottenuto con la risoluzione di c1?

cosa non hai capito, lo svolgimento della derivata?

per la seconda invece va prima calcolata la derivata, si può già sostituire , in modo da semplificare la funzione



come prima sostituisci x = 0 e y = 0 e trovi



per cui ricavi

si ma qual'è la parte che non ti torna?

io ho capito quando mi esce , poi la seconda parte che devo calcolare la derivata prima, ma la derivata prima di cosa? Mi potresti descrivere il passaggio successivo alla parte di ?

Da qui non mi è chiara forse la derivata...

ah ok, in pratica noi abbiamo trovato la soluzione



che al variare di rappresenta un insieme di curve o funzioni che soddisfano l'equazione differenziale

imponendo che abbiamo trovato che

per cui sostituendo il valore di trovato nella soluzione generale si ottiene:



che rappresentano tutte le soluzioni dell'equazione differenziale che , cioè valgono 1 quando x = 0

l'altra condizione dice che , per cui bisogna calcolare la derivata di y(x) e imporre il passaggio di questa per l'origine.





poi a questa sostituisci x = 0 e y' = 0 per ricavare come fatto prima.

dimmi se adesso ti è più chiaro ^^

si ok
grazie