Domanda su un problema di Cauchy, equazione differenziale a variabili separabili

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Domanda su un problema di Cauchy, equazione differenziale a variabili separabili #23289

avt
mina
Punto
Ciao a tutti, ho un'altra domanda a risposta multipla su un problema di Cauchy con un'equazione differenziale a variabili separabili.

La domanda chiede: per la soluzione del problema di Cauchy

y'=8xy+16x

con condizione iniziale y(1)=5

Si ha :

a) y(x)<=7-2e^(-4), per ogni x>=-4

b) y(x)=0, per ogni x<7-2e^(-4)

c) y(x)>=-2+7e^(-4), per ogni x appartenente a R

La risposta dovrebbe essere la c) ma non so come arrivare a questa risposta emt

Grazie in anticipo
 
 

Domanda su un problema di Cauchy, equazione differenziale a variabili separabili #23301

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao Mina emt

Io procedo così. Scrivo l'equazione differenziale in questo modo:

y'= 8x(y+2)

Così da vederla come equazione differenziale a variabili separabili. In particolare abbiamo che:

a(x)=8x è una funzione continua in tutto x\in\mathbb{R}

b(y)= y+2 è una funzione derivabile in tutto l'asse reale con derivata continua. Vale quindi il teorema di esistenza e unicità locale.


Troviamo prima la soluzione costante del problema, risolvendo l'equazione b(y)=0\iff y+2=0\iff y=-2

ma attenzione, non è soluzione del problema di Cauchy, perché non rispetta la condizione iniziale.

Sempre per il teorema di esistenza e unicità locale, sappiamo che le altre soluzioni vivono in \mathbb{R}\times (-2,+\infty) oppure in \mathbb{R}\times (-\infty, -2)

poiché la condizione iniziale appartiene a \mathbb{R}\times (-2,+\infty), dobbiamo considerare questo insieme, pertanto:

x appartiene ad R mentre y>-2.

Determiniamo i possibili punti di massimo o di minimo. Essi sono dati dalle soluzioni della equazione:

a(x)= 0\iff 8x=0\iff x=0

Studiamo il segno della derivata prima:

y'(x)>0\iff 8x (y+2)>0

Ora poiché abbiamo visto che y>-2 si ha che il fattore:

y+2>0, quindi il segno della derivata prima dipende esclusivamente dal segno del fattore x. In particolare abbiamo che se:

x>0 la derivata prima è positiva, quindi la funzione soluzione è crescente

se

x<0 la derivata prima è negativa, quindi la funzione soluzione è decrescente.

Possiamo asserire che x=0 è un punto di minimo. Dobbiamo calcolare il minimo e per farlo troviamo la soluzione separando le variabili:

\int \frac{y'(x)}{2+y(x)}dx= \int 8x dx

Il primo integrale è immediato:

\int \frac{y'(x)}{2+y(x)}dx= \ln|2+y(x)|

poiché y>-2 possiamo togliere il valore assoluto.

\int \frac{y'(x)}{2+y(x)}dx= \ln(2+y(x))


anche il secondo integrale è immediato:

\int 8xdx=4x^2+c

Otteniamo quindi l'equazione

\ln(2+y(x))=4x^2+c

pertanto:

2+y(x)=e^{4x^2+c}\implies y(x)=e^{4x^2+c}-2= e^{c}e^{4x^2}-2

Imponiamo la condizione iniziale

y(1)=5

5=e^{4+c}-2\implies e^{4+c}=7\iff e^{c}=7e^{-4}

La funzione è quindi:


y(x)= 7e^{-4}e^{4x^2}-2= 7e^{4x^2-4}-2

Abbiamo visto che x=0 è un punto di minimo assoluto, quindi il minimo è:

y(0)= 7e^{-4}-2= 7e^{-4}-2

Questo vuol dire che:

y(x)\ge 7e^{-4}-2\quad \forall x\in\mathbb{R}

La risposta è la C come avevi preannunciato emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Miusha, mina, AnimeLover93, CarFaby

Domanda su un problema di Cauchy, equazione differenziale a variabili separabili #23304

avt
mina
Punto
grazie mille, sei davvero un genio di matematica emt emt emt

Domanda su un problema di Cauchy, equazione differenziale a variabili separabili #23307

avt
Ifrit
Amministratore
mina ha scritto:
grazie mille, sei davvero un genio di matematica emt emt emt


Ti ringrazio! emt peccato che i miei prof non la pensino allo stesso modo emt emt emt emt

Domanda su un problema di Cauchy, equazione differenziale a variabili separabili #23309

avt
mina
Punto
emt devono ripensare emt
Ringraziano: Ifrit
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Os