Domanda sulla soluzione massimale di un problema di Cauchy

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Domanda sulla soluzione massimale di un problema di Cauchy #23108

avt
mina
Punto
Ciao ragazzi, se qualcuno ha tempo può aiutarmi rispondere a questa domanda a risposta multipla sulla soluzione massimale di un problema di Cauchy?

L'esercizio chiede: per la soluzione massimale del problema di Cauchy

y'=cos(x)/(y-1)

con condizione iniziale y(0)=0

risulta che:

A) è definita in R e periodica

B) è non limitata e definita in intervallo limitato

C) ha minimo ed è definita in intervallo limitato

D) è definita in R e non limitata

E) non ha minimo ed è definita in un intervallo non limitato

Credo che la risposta sarà "E" ma non sono sicuro.

Grazie in anticipo
 
 

Re: Domanda sulla soluzione massimale di un problema di Cauchy #23162

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao Mina, secondo me la risposta corretta è la C, vediamo perché emt

L'equazione differenziale è a variabili separabili, poniamo:

a(x)=\cos(x) continua in \mathbb{R} mentre:

b(y)=\frac{1}{y-1} continua e derivabile in (-\infty, 1)\cup(1, +\infty)

Poiché il punto iniziale y(0)=0\in (-\infty, 1) allora il grafico della funzione soluzione vive in \mathbb{R}\times (-\infty, 1).

Separando le variabili:

\int (y(x)-1)y'(x)dx= \int \cos(x)

Integriamo per sostituzione il primo integrale, ponendo:

t=y(x)-1\implies dt= y'(x)dx:

\int tdt=\frac{t^2}{2}+c_1= \frac{(y(x)-1)^2}{2}+c_1

mentre \int\cos(x)dx=\sin(x)+c_2

L'equazione diventa quindi:

\frac{(y(x)-1)^2}{2}= \sin(x)+k

da cui:

(y(x)-1)^2= 2\sin(x)+k_1


dove k_1=2k

Imponiamo la condizione iniziale:

y(0)=0 in modo da determinare k_1


1= k_1

Quindi l'equazione (y(x)-1)^2= 2\sin(x)+k_1

diventa:


(y(x)-1)^2= 2\sin(x)+1

Da qui capiamo che affinché l'equazione sia coerente dobbiamo richiedere che:

2\sin(x)+1>0\iff \sin(x)>-\frac{1}{2} cioè:

-\frac{\pi}{6}+2k\pi<x<\frac{7}{6}\pi+2k\pi\qquad k\in \mathbb{Z}

Di tutti questi intervalli dobbiamo prendere quello che contiene lo zero:

-\frac{\pi}{6}<x<\frac{7}{6}\pi. Il dominio della funzione soluzione è limitato emt


Estraendo membro a membro la radice abbiamo:


|y(x)-1|= \sqrt{2\sin(x)+1}

poiché y(x)\in(-\infty, 1) allora |y(x)-1|= 1-y(x)



1-y(x)= \sqrt{2\sin(x)+1}

Da cui:

y(x)= 1-\sqrt{2\sin(x)+1}

Osserviamo che i possibili punti di massimo o di minimo si ottengono ponendo a zero la derivata prima:

y'(x)=0\iff \frac{\cos(x)}{y(x)+1}=0\iff \cos(x)=0

Da cui:

x=\frac{\pi}{2}. Inoltre:

y'(x)<0\iff \frac{\cos(x)}{y-1}<0. Poiché y<1 allora il segno del denominatore è sempre negativo, mentre

\cos(x)>0\iff \left(-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2}\right) mentre:

\cos(x)<0\iff \left(\frac{\pi}{2}, \frac{7}{6}\pi\right)

Tabulando i segni della derivata prima:

cos(x):-Pi/6 + + + + + Pi/2 - - - - -7/6 Pi

y+1___:- - - - - - - - - - - - - - - - - -

Tot___: - - - - - - - - Pi/2 + + + + + +

quindi x_0= \frac{\pi}{2} è un punto di minimo assoluto.

La risposta è C.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, mina, CarFaby

Re: Domanda sulla soluzione massimale di un problema di Cauchy #23206

avt
mina
Punto
grazie Ifrit per l'aiuto emt emt
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Os