Problema di Cauchy, equazione differenziale non lineare del primo ordine

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Problema di Cauchy, equazione differenziale non lineare del primo ordine #22942

avt
derp
Frattale
Volevo chiedervi aiuto per un altro problema di Cauchy con un'equazione differenziale non lineare del primo ordine, dove la difficoltà sta nello svolgimento all'inizio dell'equazione differenziale, ora la scrivo:

y'= √(2y-5) ; y(0) = (5)/(2)

YouMath grazie infinite per l'aiuto che mi state dando!
 
 

Problema di Cauchy, equazione differenziale non lineare del primo ordine #22943

avt
frank094
Sfera
Ciao Derp, vediamo subito come risolvere questo bel Problema di Cauchy emt !

beginarrayl l y'(x) = √(2y(x)-5) ; y(0) = (5)/(2) endarray .

Tanto per cominciare è bene notare che ci troviamo di fronte ad una equazione differenziale non lineare del primo ordine e che può tranquillamente essere risolta per separazione delle variabili.

Tieni conto che la funzione y(x) è soggetta a delle limitazioni in quanto la quantità sotto radice non può essere mai minore di 0, lavorando nell'ambito dei reali.
Ad ogni modo, iniziamo a risolvere l'equazione differenziale dividendo a destra e sinistra per il secondo membro:

(mathrmdy)/(mathrmdx) (1)/(√(2y(x)-5)) = 1

Integriamo a destra e sinistra nella variabile x in modo da ottenere

∫ (mathrmdy)/(√(2y(x)-5)) = ∫ 1 , mathrmdx

Da cui si ottiene

√(2y(x)-5) = x+c_1

Ricaviamoci adesso la funzione incognita

2y(x) = 5+x^2+c_1^2+2c_1x

Da cui si ottiene

y(x) = (1)/(2) (x^2+2c_1x+5+c_1^2)

Sostituendo la condizione iniziale si ottiene

5+c_1^2 = 5 ⇒ c_1 = 0

Perciò la soluzione finale sarà

y(x) = (1)/(2) (x^2+5)

Credo che questo sia il procedimento emt cosa ne dici? E' tutto chiaro emt ?
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, paperino, CarFaby

Re: Problema di Cauchy, equazione differenziale non lineare del primo ordine #22946

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao a tutti emt

Intervengo per dire che il problema di Cauchy proposto ha infinite soluzioni, una è quella proposta dal mitico Frank, un'altra è ad esempio la soluzione costante:

y(x) = (5)/(2) ∀ x∈R

Di conseguenza sorge il fenomeno che in Matematica viene chiamato pennello di Peano.
Ringraziano: Omega, Pi Greco

Re: Problema di Cauchy, equazione differenziale non lineare del primo ordine #22964

avt
derp
Frattale
E succede perché non è verificata l'ipotesi di lipschitzianità?

Re: Problema di Cauchy, equazione differenziale non lineare del primo ordine #22977

avt
Ifrit
Amministratore
Sì, è esatto la funzione:

f(x, y) = √(2y-5)

non rispetta l'ipotesi di lipschitzianità nell'intervallo [5/2, ∞).
Ringraziano: Omega, Pi Greco, CarFaby

Re: Problema di Cauchy, equazione differenziale non lineare del primo ordine #22979

avt
Omega
Amministratore
Ciao a tutti, lascio un paio di link che potrebbero schiarire le idee a Derp:

- la funzione f(x) = √(x) non è lipschitziana sull'intervallo [0,1]: click!

- le radici quadrate e la non unicità delle soluzioni delle equazioni differenziali, un esempio: click!
Ringraziano: Ifrit, derp, paperino, CarFaby
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Os