Problema di Cauchy, equazione differenziale non lineare del primo ordine

Volevo chiedervi aiuto per un altro problema di Cauchy con un'equazione differenziale non lineare del primo ordine, dove la difficoltà sta nello svolgimento all'inizio dell'equazione differenziale, ora la scrivo:



YouMath grazie infinite per l'aiuto che mi state dando!

Ciao Derp, vediamo subito come risolvere questo bel Problema di Cauchy !


Tanto per cominciare è bene notare che ci troviamo di fronte ad una equazione differenziale non lineare del primo ordine e che può tranquillamente essere risolta per separazione delle variabili.

Tieni conto che la funzione è soggetta a delle limitazioni in quanto la quantità sotto radice non può essere mai minore di 0, lavorando nell'ambito dei reali.
Ad ogni modo, iniziamo a risolvere l'equazione differenziale dividendo a destra e sinistra per il secondo membro:


Integriamo a destra e sinistra nella variabile in modo da ottenere


Da cui si ottiene


Ricaviamoci adesso la funzione incognita


Da cui si ottiene


Sostituendo la condizione iniziale si ottiene


Perciò la soluzione finale sarà


Credo che questo sia il procedimento cosa ne dici? E' tutto chiaro ?

Ciao a tutti

Intervengo per dire che il problema di Cauchy proposto ha infinite soluzioni, una è quella proposta dal mitico Frank, un'altra è ad esempio la soluzione costante:



Di conseguenza sorge il fenomeno che in Matematica viene chiamato pennello di Peano.

E succede perché non è verificata l'ipotesi di lipschitzianità?

Sì, è esatto la funzione:



non rispetta l'ipotesi di lipschitzianità nell'intervallo .

Ciao a tutti, lascio un paio di link che potrebbero schiarire le idee a Derp:

- la funzione non è lipschitziana sull'intervallo : click!

- le radici quadrate e la non unicità delle soluzioni delle equazioni differenziali, un esempio: click!