Integrale doppio di una funzione fratta

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Integrale doppio di una funzione fratta #21903

avt
904
Sfera
Ciao a tutti, devo calcolare un integrale doppio di una funzione fratta:

\int \int_D \frac{x}{y}e^ydxdy

L'integrale doppio va calcolato sul seguente dominio

D=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 : 0\leq x \leq 1 , x^2 \leq y \leq x\}

Sebbene sia un dominio normale non riesco a risolverlo perchè non so come integrare e^y/y, c'è qualche modo quindi di risolverlo?

Grazie mille per la vostra disponibilità
 
 

Integrale doppio di una funzione fratta #21924

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ciao 904 emt
Hai ragione, così com'è l'integrale non può essere svolto elementarmente (interviene ciò che nella teoria dell'integrazione viene chiamata Funzione integrale esponenziale, non molto utilizzata in realtà, se non per studi avanzati)

In questo caso dobbiamo esprimere il dominio in modo che risulti normale rispetto ad y:

integraledoppio


Aiutandoti con un disegno capiamo che:

y\in[0, 1]

mentre y\le x\le \sqrt{y}

di conseguenza l'integrale diventa:

\int_{0}^{1}\int_{y}^{\sqrt{y}}\frac{x}{y}e^{y}dx dy=

\int_0^{1}\frac{e^{y}}{y}\int x dx dy=

\int_{0}^{1}\frac{e^{y}}{y}\left[\frac{x^2}{2}\right]_{y}^{\sqrt{y}}dy=

\int_{0}^{1}\frac{e^{y}}{y}\left(\frac{y}{2}-\frac{y^2}{2}\right)dy=

\int_{0}^{1}\frac{e^{y}}{y}y\left(\frac{1}{2}-\frac{y}{2}\right)dy=

Semplificando y:

\int_{0}^{1}e^{y}\left(\frac{1}{2}-\frac{y}{2}\right)dy=


\int_{0}^{1}\frac{e^{y}}{2}-\frac{ye^{y}}{2}dy=

\frac{1}{2}\int_{0}^{1}e^{y}dy-\frac{1}{2}\int_{0}^{1}ye^{y}dy

Il primo integrale è immediato, per risolvere il secondo procedi per parti scegliendo come fattore finito (da derivare) y e come fattore differenziale (da integrare ) e^y

Il risultato dell'integrale di partenza dovrebbe essere:

\frac{e}{2}-1

Se hai bisogno di una mano sono qui emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, 904, CarFaby

Re: Integrale doppio di una funzione fratta #21926

avt
904
Sfera
ma non c'è un altro modo per ricavare quello senza fare il disegno? cioè per ricavare quel dominio normale

Re: Integrale doppio di una funzione fratta #21927

avt
Ifrit
Ambasciatore
Se hai un occhio ben allenato lo puoi fare tranquillamente senza disegno.
Non è comunque difficile rappresentare geometricamente il dominio di integrazione, almeno in questo caso. emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, 904, CarFaby

Re: Integrale doppio di una funzione fratta #21928

avt
904
Sfera
si ma purtroppo capita molte volte in cui è alquanto difficile da rappresentarlo comunque ho capito grazie mile
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Os