Moto armonico, risoluzione dell'equazione differenziale

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Moto armonico, risoluzione dell'equazione differenziale #21787

avt
xavier310
Sfera
Salve ragazzi emt Ho difficoltà con l'equazione differenziale del moto armonico! Pongo il topic in questa sezione perchè il problema è del tutto algebrico-analitico, cioè non riesco a ricavare la soluzione dell'equazione differenziale del moto armonico:

-k(x-L) = μ ddotx

Le condizioni iniziali sono

x(0) = L

dotx(0) = v_0

come soluzione mi da

x(t) = L+(v_0)/(ω)sin(ω t)

dove

ω = √((k)/(μ))

come mai esce questa soluzione?emt
Ringraziano: jo_van_otto
 
 

Moto armonico, risoluzione dell'equazione differenziale #21817

avt
Omega
Amministratore
Ciao Xavier emt

L'equazione differenziale non omogenea del secondo ordine che ti interessa si può riscrivere nella forma

μ ddotx+kx = kL

Per determinare la soluzione generale dell'equazione differenziale dobbiamo innanzitutto risolvere l'equazione omogenea associata

μ ddotx+kx = 0

e per farlo consideriamo una soluzione della forma x(t) = e^(λ t). Calcolando la derivata seconda e sostituendo ddotx(t), x(t) nell'equazione differenziale troviamo

e^(λ t)(μ λ^2+k) = 0

Essendo la funzione e^(λ t) sempre positiva possiamo ridurci a considerare l'equazione caratteristica

μ λ^2+k = 0

le cui soluzioni sono date da λ_(1,2) = ±i√((k)/(μ)). Poniamo per brevità di notazione λ_(1,2) = ±i S, cosicché tutte e sole le soluzioni dell'equazione omogenea sono date per linearità da

x_O(t) = c_1 e^(i St)+c_2 e^(-i St)

con c_1,c_2 costanti reali arbitrarie. La soluzione dell'omogenea possiamo lasciarla scritta in questa forma, oppure possiamo applicare l'identità di Eulero

e^(a+ib) = e^acos(b)+ie^(a)sin(b)

e, con qualche semplice calcolo, possiamo riscrivere x_O(t) nella forma

x_O(t) = d_1 cos(St)+d_2 sin(St)

dove d_1,d_2 sono nuove costanti reali definite a partire da c_1,c_2.

Passiamo a considerare l'equazione differenziale

μ ddotx+kx = kL

e a determinarne una soluzione particolare per applicare poi il metodo della somiglianza. Una soluzione particolare è della forma

x_P(t) = a

con a una generica costante reale. Sostituendo la soluzione particolare nell'equazione differenziale assieme alla sua derivata ricaviamo

a = L

Per cui una soluzione particolare dell'equazione differenziale è

x_P(t) = L

e la soluzione generale è somma della soluzione dell'omogenea e di quella particolare

x(t) = x_O(t)+x_P(t) = d_1 cos(St)+d_2 sin(St)+L

Imponendo le condizioni iniziali troverai d_1 = 0 e d_2 = (v_0)/(ω), cioè la soluzione fornita dal tuo testo emt
Ringraziano: Pi Greco, xavier310, CarFaby, vicio_93

Moto armonico, risoluzione dell'equazione differenziale #21823

avt
xavier310
Sfera
Perfetto Omega! emt Tutto chiaro! Non ho nulla da chiedere. Grazie emt
Ringraziano: Omega

Re: Moto armonico, risoluzione dell'equazione differenziale #21839

avt
Omega
Amministratore
Di niente, figurati Saverio! emt
Ringraziano: xavier310
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Os